Números complejos: problemas diversos (2)

Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos.

    Enunciado
  1. Resolver la ecuación en $\mathbb{C}:\;$ $z^4+2z^3+4z^2+8z+16=0.$
  2. Para $a,b$ números reales, calcular las sumas $$R=\cos a+\cos (a+b)+\cos (a+2b)+\cdots+\cos \left(a+(n-1)b\right),$$ $$I=\operatorname{sen}a+\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a+2b)+\cdots+\operatorname{sen}\left(a+(n-1)b\right).$$
  3. Demostrar que si $0\neq z=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta,\;(\theta\in \mathbb{R})$ y $n$ natural, entonces $$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta.$$
  4. Determinar el subconjunto de $\mathbb{R}^2:$ $$S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:(x + iy)^3\in\mathbb{R}\;\wedge\; \left|x + i y\right|>8\}.$$
  5. Expresar la circunferencia $C:x^2+y^2+2x+2y=0$ en coordenadas conjugadas complejas, es decir en función de $z=x+iy$ y de $\overline{z}.$
  6. Sea $z\in\mathbb{C}$ y $\theta\in\mathbb{R}.$
    $a)$ Demostrar que el producto $z’=z\left(\cos \theta+i\operatorname{sen}\theta\right)$ es el resultado de girar el vector $z$ un ángulo $\theta$ alrededor del origen.
    $b)$ Escribir la ecuación matricial del giro.
  7. Sean $z$ y $w$ dos números complejos no nulos. Demostrar que si $\left|z+w\right|=$ $\left|z-w\right|$ entonces, $w/z$ es imaginario puro.
  8. Demostrar que todas las circunferencias y rectas del plano se pueden expresar en la forma $$\lambda z\overline{z}+\overline{A}z+A\overline{z}+B=0\text{ con }\lambda,B\in\mathbb{R},\:\lambda B<A\overline{A}.$$
    Solución
  1. Tenemos las igualdades $$z^4+2z^3+4z^2+8z+16=16\left(\frac{z^4}{16}+\frac{z^3}{8}+\frac{z^2}{4}+\frac{z}{2}+1\right)$$ $$16\left( 1+\frac{z}{2}+\left(\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{z}{2}\right)^3+\left(\frac{z}{2}\right)^4\right)\underbrace{=}_{\text{si }z\neq 2}16\cdot \frac{(z/2)^5-1}{z/2-1}.$$ Para $z\neq 2$ la ecuación dada equivale a $z^5-32=0.$ Basta por tanto hallar las raíces quintas de $32$ y excluir $z=2$ (que evidentemente no satisface la ecuación dada). Efectuando los cálculos obtenemos en forma polar $$z_1=2_{2\pi/5},\quad z_2=2_{4\pi/5},\quad z_3=2_{6\pi/5},\quad z_4=2_{8\pi/5}.$$
  2. Tenemos $$R+iI=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\cos (a+kb)+i\operatorname{sen}(a+kb)\right)$$ $$=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\cos a+i\operatorname{sen}a\right)\left(\cos kb+i\operatorname{sen}kb\right)$$ $$=\left(\cos a+i\operatorname{sen}a\right)\sum_{k=0}^{n-1}\left(\cos kb+i\operatorname{sen}kb\right)$$ Dado que $\cos kb+i\operatorname{sen}kb=(\cos b+i\operatorname{sen}b)^n$ y usando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica $$R+iH=\left(\cos a+i\operatorname{sen}a\right)\;\frac{\cos nb+i\operatorname{sen}b}{\cos b+i\operatorname{sen}b-1}.$$ Multiplicando numerador y denominador por $\cos b-i\operatorname{sen}b-1,$ y separando partes real e imaginaria $$R=\frac{\cos\left(a+(n-1)b\right)-\cos\left(a+nb\right)-\cos (a-b)+\cos a}{2(1-\cos b)},$$ $$I=\frac{\operatorname{sen}\left(a+(n-1)b\right)-\operatorname{sen}\left(a+nb\right)-\operatorname{sen} (a-b)+\operatorname{sen} a}{2(1-\cos b)}.$$ Usando las conocidas fórmulas que transforman las sumas de las razones trigonométricas seno y coseno en productos, obtenemos $$R=\cos \left(a+(n-1)\frac{b}{2}\right)\frac{\operatorname{sen}(nb/2)}{\operatorname{sen}(b/2)},$$ $$I=\operatorname{sen} \left(a+(n-1)\frac{b}{2}\right)\frac{\operatorname{sen}(nb/2)}{\operatorname{sen}(b/2)}.$$
  3. Tenemos $$\frac{1}{z}=\frac{\cos\theta-i\operatorname{sen}\theta}{(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)(\cos\theta-i\operatorname{sen}\theta)}=\frac{\cos\theta-i\operatorname{sen}\theta}{\operatorname{\cos^2\theta+sen^2\theta}}$$ $$=\cos\theta-i\operatorname{sen}\theta=\cos(-\theta)+i\operatorname{sen}(-\theta)$$ $$\Rightarrow z^n+\frac{1}{z^n}=(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)^n+\left(\cos(-\theta)+i\operatorname{sen}(-\theta)\right)^n$$ $$=\cos n\theta+i\operatorname{sen}n\theta+ \cos(-n\theta)+i\operatorname{sen}(-n\theta)$$ $$=\cos n\theta+i\operatorname{sen}n\theta+ \cos n\theta-i\operatorname{sen} n\theta=2\cos n\theta.$$
  4. Tenemos $(x + iy)^3 = x^3 + 3 i x^2 y – 3 x y^2 – i y^3$ Entonces, $$(x + iy)^3 \text{ es real }\Leftrightarrow 3 x^2 y – y^3 = 0\Leftrightarrow y (3 x^2 – y^2 ) = 0$$ $$\Leftrightarrow y = 0 \vee 3 x^2 – y^2 = 0\Leftrightarrow y = 0 \vee y^2=3 x^2 \Leftrightarrow y=0\vee y=\pm\sqrt{3}x.$$ Si $y=0,$ entonces $$\left|x + i y\right|>8\Leftrightarrow x^2>64\Leftrightarrow \left|x\right|>8.$$ Si $y=\pm \sqrt{3}x,$ entonces $$\left|x + i y\right|>8\Leftrightarrow x^2+3x^2>64\Leftrightarrow x^2>16\Leftrightarrow\left|x\right|>4.$$ El conjunto $S$ pedido es por tanto $$S=\{(x,0):\left|x\right|>8\}\cup\{(x,\pm\sqrt{3}x):\left|x\right|>4\}.$$
  5. Tenemos $z=x+iy,$ $\overline{z}=x-iy.$ Sumando y restando estas igualdades obtenemos $$x=\frac{z+\overline{z}}{2},\quad y=\frac{z-\overline{z}}{2i}.$$ Sustituyendo en la ecuación de $C$ y usando que $x^2+y^2=z\overline{z},$ $$C:z\overline{z}+2\left(\frac{z+\overline{z}}{2}\right)+2\left(\frac{z-\overline{z}}{2i}\right)=0,$$ $$C:z\overline{z}+(1-i)z+(1+i)\overline{z}=0.$$
  6. $a)$ Los valores del módulo y el argumento de $z’$ son $$\left|z’\right|=\left|z\right|\left|\cos \theta+i\operatorname{sen}\theta\right|=\left|z\right|\left(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta\right)=\left|z\right|\cdot1=\left|z\right|,$$ $$\arg z’=\arg \left(z\left(\cos \theta+i\operatorname{sen}\theta\right)\right)=(\arg z)+\theta,$$ lo cual prueba el resultado.
    $b)$ Si $z’=x’+y’i$ con $x’,y’$ reales: $$x’+iy’=(x+yi)\left(\cos \theta+i\operatorname{sen}\theta\right)$$ $$=(x\cos \theta-y\operatorname{sen}\theta)+(x\operatorname{sen}\theta+y\cos \theta)i.$$ La ecuación matricial del giro es por tanto $$\begin{bmatrix}{x’}\\{y’}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\cos \theta}&{-\operatorname{sen}\theta}\\{\operatorname{sen}\theta}&{\quad\cos \theta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}.$$
  7. Tenemos $$\left|z+w\right|=\left|z-w\right|\Leftrightarrow \left|z+w\right|^2=\left|z-w\right|^2$$ $$\Leftrightarrow (z+w)\left(\overline{z+w}\right)=(z-w)\left(\overline{z-w}\right)$$ $$\Leftrightarrow (z+w)\left(\overline{z}+\overline{w}\right)=(z-w)\left(\overline{z}-\overline{w}\right)$$ $$\Leftrightarrow z\overline{z}+w\overline{z}+z\overline{w}+w\overline{w}=z\overline{z}-w\overline{z}-z\overline{w}+w\overline{w}$$ $$\Leftrightarrow 2w\overline{z}+2z\overline{w}=0\Leftrightarrow 2\left(\overline{z\overline{w}}+z\overline{w}\right)=0$$ $$\Leftrightarrow 2\text{Re }(z\overline{w})=0\Leftrightarrow \text{Re }(z\overline{w})=0.$$ Entonces, $$\frac{w}{z}=\frac{w\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\text{Re }(w\overline{z})+i\;\text{Im }(w\overline{z})}{\left|z\right|^2}=\frac{\text{Im }(w\overline{z})}{\left|z\right|^2}i,$$ luego $w/z$ es imaginario puro.
  8. Toda circunferencia o recta del plano tiene por ecuación $$\lambda x^2+\lambda y^2+ax+by +c=0\text{ con }\lambda,a,b,c\in\mathbb{R}.$$ Para que sea circunferencia ha de ser $\lambda\neq 0.$ Ademas, completando cuadrados queda $$\left(x+\frac{a}{2\lambda}\right)^2+\left(y+\frac{b}{2\lambda}\right)^2=\frac{a^2+b^2-4\lambda c}{4\lambda^2},$$ con lo cual también se ha de verificar $a^2+b^2-4\lambda c>0.$ Para que sea recta, ha de ser $\lambda=0$ y $a,b$ no simultáneamente nulos.
    Usando coordenadas conjugadas complejas $x=\left(z+\overline{z}\right)/2,$ $y=\left(z-\overline{z}\right)/2i:$ $$\lambda \frac{z^2+\overline{z}^2+2z\overline{z}}{4}-\lambda\frac{z^2+\overline{z}^2-2z\overline{z}}{4}+a\frac{z+\overline{z}}{2}-bi\frac{z-\overline{z}}{2}+c=0,$$ $$\lambda z\overline{z}+\left(\frac{a}{2}-\frac{b}{2}i\right)z+\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}i\right)\overline{z}+c=0.$$ Llamando $A=a/2+bi/2$ y $c=B$ queda $\lambda z\overline{z}+\overline{A}z+A\overline{z}+B=0.$ Si $\lambda\neq 0$ la condición $a^2+b^2-4\lambda c>0$ equivale a $\lambda B<A\overline{A}$ siendo además $\lambda,B$ reales por hipótesis.
    Si $\lambda=0,$ como $a$ y $b$ no son simultáneamente nulos, $A\overline{A}>0$ luego $0=\lambda B<A\overline{A}.$
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