Números complejos: problemas diversos (2)

Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos.

1 Resolver la ecuación en $\mathbb{C}:\;$ $z^4+2z^3+4z^2+8z+16=0.$

SOLUCIÓN

2 Para $a,b$ números reales, calcular las sumas $$R=\cos a+\cos (a+b)+\cos (a+2b)+\cdots+\cos \left(a+(n-1)b\right),$$ $$I=\operatorname{sen}a+\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a+2b)+\cdots+\operatorname{sen}\left(a+(n-1)b\right).$$

SOLUCIÓN

3 Demostrar que si $0\neq z=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta,\;(\theta\in \mathbb{R})$ y $n$ natural, entonces $$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta.$$

SOLUCIÓN

4 Determinar el subconjunto de $\mathbb{R}^2:$ $$S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:(x + iy)^3\in\mathbb{R}\;\wedge\; \left|x + i y\right|>8\}.$$

SOLUCIÓN

5 Expresar la circunferencia $C:x^2+y^2+2x+2y=0$ en coordenadas conjugadas complejas, es decir en función de $z=x+iy$ y de $\overline{z}.$

SOLUCIÓN

6 Sea $z\in\mathbb{C}$ y $\theta\in\mathbb{R}.$
$a)$ Demostrar que el producto $z’=z\left(\cos \theta+i\operatorname{sen}\theta\right)$ es el resultado de girar el vector $z$ un ángulo $\theta$ alrededor del origen.
$b)$ Escribir la ecuación matricial del giro.

SOLUCIÓN

7 Sean $z$ y $w$ dos números complejos no nulos. Demostrar que si $\left|z+w\right|=$ $\left|z-w\right|$ entonces, $w/z$ es imaginario puro.

SOLUCIÓN

8 Demostrar que todas las circunferencias y rectas del plano se pueden expresar en la forma $$\lambda z\overline{z}+\overline{A}z+A\overline{z}+B=0\text{ con }\lambda,B\in\mathbb{R},\:\lambda B<A\overline{A}.$$

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.