Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski

Demostramos las desigualdades de Young, Hölder y Minkowski.

Enunciado
1.  Sean $a,b,p,q$ números reales tales que $$a\geq 0,\;b\geq 0,\;p>1,\;q>1,\;\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$$ Demostrar la desigualdad de Young: $$ab\leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.$$ 2.  Sean $a_k,b_k\geq 0$ números reales con $k=1,2,\ldots, n,$ $p>1,$ $q>1,$ $1/p+1/q=1$.
Demostrar la desigualdad de Hölder $$\sum_{k=1}^na_kb_k\leq \left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^nb_k^q\right)^{1/q}.$$ 3. Sean $a_k,b_k\geq 0$ números reales con $k=1,2,\ldots, n,$ y $p\geq 1,$ real. Demostrar la desigualdad de Minkowski $$\left(\sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)^p\right)^{1/p}\leq \left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{k=1}^nb_k^p\right)^{1/p}.$$

Solución
1.  La función exponencial $f(x)=e^x$ satisface $f^{\prime\prime}(x)=e^x>0,$ para todo $x$ real, luego es convexa en $\mathbb{R}.$ Por tanto, para todo $x$, $y$ reales y para todo $\alpha\geq 0,$ $\beta\geq 0$ reales con $\alpha +\beta=1$ se verifica $$f(\alpha x+\beta y)\leq \alpha f(x)+\beta f(y),\text{ o bien } e^{\alpha x+\beta y}\leq \alpha e^x+\beta e^y\quad (1)$$ Si $a=0$ o $b=0,$ la desigualdad de Young se satisface trivialmente. Si $a>0$ y $b>0,$ llamemos $$\alpha =\frac{1}{p},\;\beta=\frac{1}{q},\;x=p\log a,\;y=q\log b.$$ El primer miembro de la desigualdad de $(1)$  es $$e^{\log a+\log b}=e^{\log a}e^{\log b}=ab,$$ y el segundo $$\frac{1}{p}e^{p\log a}+\frac{1}{q}e^{q\log b}=\frac{1}{p}e^{\log a^p}+\frac{1}{q}e^{\log b^q}=\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q},$$ lo cual prueba la desigualdad de Young.

2.  Llamemos $A=\left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{1/p},$ $B=\left(\sum_{k=1}^nb_k^p\right)^{1/q}.$ Si $A=0$ o $B=0,$ la desigualdad de Hölder se verifica claramente. Si $A>0$ y $B>0$ y usando la desigualdad de Young para $a=a_k/A$ y $b=b_k/B,$ $$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{A}\frac{b_k}{B}\leq \frac{1}{p}\sum_{k=1}^n\frac{a_k^p}{A^p}+\frac{1}{q}\sum_{k=1}^n\frac{b_k^q}{B^q}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$$ es decir $\sum_{k=1}^na_kb_k\leq AB,$ lo cual prueba la desigualdad de Hölder.

Nota. Para $p=2,$ a la desigualdad de Hölder también se la llama desigualdad de Schwartz.

3.  Para $p=1$ la desigualdad es trivial. Si $p>1,$ sea $q>1$ tal que $1/p+1/q=1.$ Usando que $(p-1)q=p$ y la desigualdad de Hölder: $$\sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)^p=\sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)\left(a_k+b_k\right)^{p-1}$$ $$=\sum_{k=1}^na_k\left(a_k+b_k\right)^{p-1}+\sum_{k=1}^n b_k\left(a_k+b_k\right)^{p-1}$$ $$\leq \left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)^{q(p-1)}\right)^{1/q}+\left(\sum_{k=1}^nb_k^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)^{q(p-1)}\right)^{1/q}$$ $$=\left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)^{p}\right)^{1/q}+\left(\sum_{k=1}^nb_k^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)^{p}\right)^{1/q}$$ $$=\left(\sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)^{p}\right)^{1/q}\left(\left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{k=1}^nb_k^p\right)^{1/p}\right)$$ $$\Rightarrow \left(\sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)^{p}\right)^{1-1/q}\leq\left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{k=1}^nb_k^p\right)^{1/p}$$ $$\Rightarrow \left(\sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)^{p}\right)^{1/p}\leq\left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{k=1}^nb_k^p\right)^{1/p}.$$

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