Cuádrica, giro y traslación

Proporcionamos un ejemplo de cálculo de la ecuación reducida de una cuádrica mediante un giro y traslación de ejes.

Enunciado
Se considera la cuádrica $$\mathcal{C}:2 x^2- 7 y ^2 + 2 z^ 2 – 10 xy -8 xz -10 yz + 6 x + 12 y -6 z + 5 = 0.$$ Efectuar un giro y traslación de ejes que permita hallar la ecuación reducida de $\mathcal{C}.$ Clasificar la cuádrica.

Solución
Podemos escribir $\mathcal{C}$ en la forma $$(x,y,z)\underbrace{\begin{pmatrix}{\;\;2}&{-5}&{-4}\\{-5}&{-7}&{-5}\\{-4}&{-5}&{\;\;2}\end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}+2(x,y,z)\begin{pmatrix}{\;\;3}\\{\;\;6}\\{-3}\end{pmatrix}+5=0.$$ Valores propios de $A:$ $$\begin{vmatrix}{\;\;2-\lambda}&{-5}&{-4}\\{-5}&{-7-\lambda}&{-5}\\{-4}&{-5}&{\;\;2-\lambda}\end{vmatrix}\underbrace{=}_{F_3-F_1}\begin{vmatrix}{\;\;2-\lambda}&{-5}&{-4}\\{-5}&{-7-\lambda}&{-5}\\{-6+\lambda}&{\;\;0}&{\;\;6-\lambda}\end{vmatrix}$$ $$\underbrace{=}_{C_1+C_3}\begin{vmatrix}{-2-\lambda}&{-5}&{-4}\\{-10}&{-7-\lambda}&{-5}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{\;\;6-\lambda}\end{vmatrix}=(6-\lambda)\begin{vmatrix}{-2-\lambda}&{-5}\\{-10}&{-7-\lambda}\end{vmatrix}$$ $$=(6-\lambda)(\lambda^2+9\lambda-36)=0\Leftrightarrow (6-\lambda)(\lambda+12)(\lambda-3)=0$$ $$\Leftrightarrow \lambda=-12\;\vee\;\lambda=3\;\vee\;\lambda =6\quad \text{(simples).}$$ Subespacios propios de $A$ y correspondientes bases $$V_{-12}\equiv\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \quad14x_1-5x_2-4x_3=0\\ &-5x_1 +5x_2-5x_3=0\\ & -4x_1-5x_2+14x_3=0,\end{aligned}\end{matrix}\right.\quad B_{-12}=\{(1,2,1)\},$$ $$V_{3}\equiv\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & -x_1-5x_2-4x_3=0\\ &-5x_1 -10x_2-5x_3=0\\ & -4x_1-5x_2-x_3=0,\end{aligned}\end{matrix}\right.\quad B_{3}=\{(1,-1,1)\},$$ $$V_{6}\equiv\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & -4x_1-5x_2-4x_3=0\\ &-5x_1 -13x_2-5x_3=0\\ & -4x_1-5x_2-4x_3=0,\end{aligned}\end{matrix}\right.\quad B_{3}=\{(1,0,-1)\}.$$ Los tres vectores anteriores son ortogonales dos a dos, como era de esperar, al ser vectores propios asociados a valores propios distintos de una matriz simétrica. Dividiendo cada vector entre su norma y transponiendo, obtenemos una matriz $P$ ortogonal tal que $P^tAP=D$ con $D$ diagonal de vectores propios: $$P=\begin{pmatrix}{1/\sqrt{6}}&{\;\;1/\sqrt{3}}&{\;\;1/\sqrt{2}}\\{2/\sqrt{6}}&{-1/\sqrt{3}}&{\;\;0}\\{1/\sqrt{6}}&{\;\;1/\sqrt{3}}&{-1/\sqrt{2}}\end{pmatrix}.$$ El determinante de $P$ es $1,$ y determina un giro en el espacio. Efectuando la transformación $$\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}{u}\\{v}\\{w}\end{pmatrix}$$ y sustituyendo en la ecuación de la cuádrica, $$(u,v,w)P^tAP\begin{pmatrix}{u}\\{v}\\{w}\end{pmatrix}+2(u,v,w)P^t\begin{pmatrix}{\;\;3}\\{\;\;6}\\{-3}\end{pmatrix}+5=0,$$ $$(u,v,w)\begin{pmatrix}{-12}&{0}&{0}\\{0}&{3}&{0}\\{0}&{0}&{6}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{u}\\{v}\\{w}\end{pmatrix}+2(u,v,w)\begin{pmatrix}{\frac{1}{\sqrt{6}}}&{\;\;\frac{2}{\sqrt{6}}}&{\;\;\frac{1}{\sqrt{6}}}\\{\frac{1}{\sqrt{3}}}&{-\frac{1}{\sqrt{3}}}&{\;\;\frac{1}{\sqrt{3}}}\\{\frac{1}{\sqrt{2}}}&{\;\;0}&{-\frac{1}{\sqrt{2}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\;\;3}\\{\;\;6}\\{-3}\end{pmatrix}+5=0,$$ $$-12u^2+3v^2+6w^2+4\sqrt{6}u-4\sqrt{3}v+6\sqrt{2}w+5=0.$$ Completando cuadrados, $$-12\left(u-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2+3\left(v-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2+6\left(w+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=0.$$ Con la traslación de ejes $$X=v-\frac{2}{\sqrt{3}},\;\; Y=w+\frac{1}{\sqrt{2}},\;\;Z=u-\frac{1}{\sqrt{6}}$$ obtenemos la ecuación reducida de la cuádrica $\mathcal{C}:$ $$3X^2+6Y^2-12Z^2=0,\text{ o bien }X^2+2Y^2-4Z^2=0.$$ Se trata de un cono.

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