Matrices de proyección y simetría

Proporcionamos ejemplos relativos a las matrices  de proyección y simetría sobre subespacios de $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ cuando el producto escalar es el usual.

    Enunciado
  1. $a)$ Sea $\mathbb{K}^m$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) dotado del producto escalar usual y $F$ un subespacio de $\mathbb{K}^m.$ Sea $B_F=\{e_1,e_2,\ldots e_r\}$ una base ortonormal de $F.$ Demostrar que la proyección ortogonal $p$ sobre $F$ viene dada por $$p:\mathbb{K}^m\to \mathbb{K}^m, \quad p(x)=\left(e_1e_1^*+e_2e_2^*+\cdots +e_re_r^*\right)x,\text{ con } x=\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_m}\end{bmatrix}. $$ A la matriz $P=e_1e_1^*+e_2e_2^*+\cdots +e_re_r^*$ se la llama matriz de proyección sobre el subespacio $F.$
    $b)$ Como aplicación, hallar la matriz de proyección en $\mathbb{R}^3$ sobre $F\equiv x_1+x_2+x_3.$
  2. Demostrar que la matriz $P$ de proyección es idempotente y hermítica.
  3. Sea $A\in\mathbb{K}^{m\times n}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) una matriz con sus $n$ columnas linealmente independientes. Demostrar que la matriz $A^*A$ es invertible.
  4. $a)$ Sea $A\in\mathbb{K}^{m\times n}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) una matriz con sus $n$ columnas linealmente independientes. Sea $\mathbb{K}^m$ dotado del producto escalar usual. Demostrar que la matriz de proyección $P$ sobre el subespacio columna de $A$ es $$P=A\left(A^*A\right)^{-1}A^*.$$ $b)$ Como aplicación, calcular la matrices de proyección $P$ y simetría $S$ sobre el subespacio de $\mathbb{R}^4:$ $$F\equiv\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2x_1-2x_2+x_4=0\\& 3x_1-2x_2+2x_3-x_4=0\\ & 4x_1-2x_2+4x_3-3x_4=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$
  5. Sea el hiperplano de $\mathbb{K}^m$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$): $$F\equiv a_1x_1+\cdots +a_mx_m=0.$$ $a)$ Demostrar que la matriz de proyección sobre $F$ es $$P=I-\frac{NN^*}{N^*N}\quad \text{con } N=\begin{bmatrix}a_1\\ \vdots\\{a_m}\end{bmatrix}.$$ $b)$ Como aplicación, calcular la matrices de proyección $P$ y simetría $S$ sobre el hiperplano de $\mathbb{C}^3:$ $F\equiv 2x_1+ix_2+2x_3=0.$
    $c)$ Hallar el simétrico del vector $x=(1,1,1)^T$ sobre el subespacio $F.$
  6. Sea $A\in\mathbb{K}^{m\times n}$ matriz real o compleja y con columnas linealmente independientes. Sean $P$ y $S$ las matrices de proyección y simetría respectivamente sobre el subespacio columna de $A$ y con respecto del producto escalar usual, esto es $$P=A\left(A^*A\right)^{-1}A^*,\quad S=2P-I.$$ Usando las fórmulas anteriores demostrar que:
    $a)$ $P$ es idempotente y hermítica.
    $b)$ $S$ es unitaria y hermítica.
  7. Sea $P\in\mathbb{K}^{n\times n}$ con $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ una matriz idempotente y hermítica, es decir $P^2=P$ y $P^*=P.$ Demostrar que $P$ es la matriz de proyección sobre un determinado subespacio de $\mathbb{K}^n$ con el producto escalar usual.
    Solución
  1. $a)$ Recordemos que si $E$ es espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, y $\{e_1,\ldots,e_r\}$ una base ortonormal de $F,$ entonces, para todo $x\in E$ la proyección ortogonal de $x$ sobre $F$ es $$p_F(x)=\left<x,e_1\right>e_1+\cdots+\left<x,e_r\right>e_r.\quad \square$$ En nuestro caso, usando el producto escalar usual y teniendo en cuenta que $e_k^*x$ es un escalar, $$p_F(x)=\left(e_1^*x\right)e_1+\cdots+\left(e_r^*x\right)e_r=e_1\left(e_1^*x\right)+\cdots+e_r\left(e_r^*x\right)$$ $$=\left(e_1e_1^*\right)x+\cdots+\left(e_re_r^*\right)x=\left(e_1e_1^*+\cdots +e_re_r^*\right)x.$$ Concluimos que $P=e_1e_1^*+e_2e_2^*+\cdots +e_re_r^*.$
    $b)$ Una base ortogonal de $F$ es $\{(1,-1,0)^T,(1,1,-2)^T\},$ y una ortonormal, $$B_F=\left\{e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T,\;e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^T\right\}.$$ Entonces, $$P=e_1e_1^*+e_2e_2^*=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}{\;\;1}\\{-1}\\{\;\;0}\end{bmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}{1},{-1},{0}\end{bmatrix}+\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}{\;\;1}\\{\;\;1}\\{-2}\end{bmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}{1},{1},{-2}\end{bmatrix}$$ $$=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}{\;\;1}&{-1}&{0}\\{-1}&{\;\;1}&{0}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{0}\end{bmatrix}+\frac{1}{6}\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;1}&{-2}\\{\;\;1}&{\;\;1}&{-2}\\{-2}&{-2}&{\;\;4}\end{bmatrix}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}{\;\;2}&{-1}&{-1}\\{-1}&{\;\;2}&{-1}\\{-1}&{-1}&{\;\;2}\end{bmatrix}.$$
  2. En efecto, según el apartado anterior $P=e_1e_1^*+\cdots +e_re_r^*.$ Entonces, $$P^*=\left(e_1e_1^*+\cdots +e_re_r^*\right)^*=\left(e_1^*\right)^*e_1^*+\cdots +\left(e_r^*\right)^*e_r^*$$ $$=e_1e_1^*+\cdots +e_re_r^*=P\Rightarrow P\text{ es hermítica.}$$ $$P^2=\left(e_1e_1^*+\cdots +e_re_r^*\right)\left(e_1e_1^*+\cdots +e_re_r^*\right)$$ $$\underbrace{=}_{B_F\text{ base ortog.}}e_1\left(e_1^*e_1\right)e_1^*+\cdots +e_r\left(e_r^*e_r\right)e_r^*$$ $$\underbrace{=}_{B_F\text{ base unitaria}}e_1e_1^*+\cdots +e_re_r^*=P\Rightarrow P\text{ es idempotente.}$$
  3. En efecto, la matriz $A^*A$ es de orden $n\times n.$ Sea $A=\left[a_1,a_2,\ldots,a_n\right].$ Entonces, para todo $x\in\mathbb{C}^n:$ $$(A^*A)x=0\Rightarrow x^*(A^*A) x=x^*0\Rightarrow (Ax)^*(Ax)=0\Rightarrow \langle Ax,Ax\rangle=0$$ $$\Rightarrow \left\|Ax\right\|^2=0\Rightarrow \left\|Ax\right\|=0\Rightarrow Ax=0\Rightarrow \left[a_1,\ldots,a_n\right]\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{bmatrix}=0$$ $$\Rightarrow x_1a_1+\cdots +x_na_n=0\underbrace{\Rightarrow}_{a_1,\ldots,a_n\text{ lin. indep.}}x_1=\ldots=x_n=0\Rightarrow x=0. $$ La única solución del sistema lineal homogéneo $(A^*A)x=0$ es la trivial, lo cual implica por el teorema de Rouché-Fröbenius que $\text{rg }(A^*A)=n$ (rango máximo). En consecuencia, $A^*A$ es invertible.
  4. $a)$ La matriz $P$ está bien definida, pues vimos que $A^*A$ es invertible. Además, $P$ es de orden $m\times m.$ Sea $P=\left[p_1,\ldots,p_m\right]$ y $A=\left[a_1,\ldots,a_n\right].$ Sean $e_1,\ldots,e_m$ los vectores de la base canónica de $\mathbb{K}^m,$ entonces $$Pe_1=\left[p_1,\ldots,p_m\right]\begin{bmatrix}1\\ \vdots\\{0}\end{bmatrix}=p_1,\quad Pe_m=\left[p_1,\ldots,p_m\right]\begin{bmatrix}0\\ \vdots\\{1}\end{bmatrix}=p_m,$$ luego las columnas de $P$ pertenecen al subespacio columna de $A,$ y por tanto serán combinaciones lineales de los vectores $a_1,\ldots,a_n:$ $$\left \{ \begin{matrix} p_1=\mu_{11}a_1+\cdots +\mu_{1n}a_n\ \\\ldots\\p_m=\mu_{m1}a_1+\cdots +\mu_{mn}a_n\end{matrix}\right.$$ con lo cual podemos escribir $$P=\left[p_1,\ldots,p_m\right]=\left[a_1,\ldots,a_n\right]\underbrace{\begin{bmatrix} \mu_{11} & \ldots & \mu_{m1}\\ \vdots&&\vdots \\ \mu_{1n} &\ldots & \mu_{mn}\end{bmatrix}}_{W}=AW.$$ Como $P^*=P$ por ser $P$ matriz de proyección, $$P=AW\Rightarrow P^*=\underbrace{W^*}_{Q}A^*=QA^*.$$ Como $a_1,\ldots,a_n$ pertenecen al subespacio columna de $A,$ $$PA=P\left[a_1,\ldots,a_n\right]=\left[Pa_1,\ldots,Pa_n\right]=\left[a_1,\ldots,a_n\right]=A.$$ Entonces, $$QA^*=P\Rightarrow QA^*A=PA\Rightarrow QA^*A=A\Rightarrow Q=A\left(A^*A\right)^{-1}$$ $$\Rightarrow P=QA^*=A\left(A^*A\right)^{-1}A^*.$$ $b)$ Hallemos una base de $F,$ $$\left[\begin{array}{cccc|c}
    2 & -2 & 0 & \;\;1 & 0 \\
    3 & -2 & 2 & -1 & 0 \\
    4 & -2 & 4 & -3 & 0 \\
    \end{array}\right]\begin{matrix}2F_2-3 F_1\\F_3-2F_1\\\sim\end{matrix}\left[\begin{array}{cccc|c}
    2 & -2 & 0 & \;\;1 & 0 \\
    0 & \;\;2 & 4 & -5 & 0 \\
    0 & \;\;2 & 4 & -5 & 0 \\
    \end{array}\right]$$ $$\begin{matrix}F_3-F_2\\\sim\end{matrix}\left[\begin{array}{cccc|c}
    2 & -2 & 0 & \;\;1 & 0 \\
    0 & \;\;2 & 4 & -5 & 0 \\
    0 & \;\; 0 & 0 &\;\; 0 & 0 \\
    \end{array}\right].$$ Por tanto, $$F\equiv \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2x_1-2x_2+x_4=0\\& 2x_2+4x_3+2x_3-5x_4=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Una base de $F$ es $$B_F=\left\{(-2-2,1,0)^T,(4,5,0,2)^T)\right\}.$$ Entonces, $F$ es el subespacio columna de la matriz $$A=\begin{bmatrix}{-2}&{4}\\{-2}&{5}\\{\;\;1}&{0}\\ \;\;0 & 2\end{bmatrix},$$ cuyas columnas son linealmente independientes. Por tanto, la matrices pedidas son $$P=A\left(A^*A\right)^{-1}A^*=\ldots=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}{\;\;4}&{4}&{-2} & 0\\{\;\;4}&{5}& \;\;0 &{2}\\{-2}&{0}&{\;\; 5}& 4\\ \;\;0 & 2 &\;\;4 & 4\end{bmatrix},$$ $$S=2P-I=\ldots=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}{-1}&{8}&{-4} & \;\;0\\{\;\;8}&{1}& \;\;0 &{\;\;4}\\{-4}&{0}&{\;\; 1}& \;\;8\\ \;\;0 & 4 &\;\;8 & -1\end{bmatrix}.$$
  5. $a)$ La dimensión de $F$ es $m-1.$ Sea $B_F=\{e_2,\ldots e_{m}\}$ una base ortonormal de $F.$ La matriz de proyección sobre $F$ es $P=e_2e_2^*+\cdots +e_me_m^*.$ Normalizando el vector $N,$ obtenemos $v=N/\sqrt{N^*N}.$ Dado que $\mathbb{K}^m=F\oplus F^{\perp},$ una base ortonormal de $\mathbb{K}^m$ es $$B=\{v,e_2,\ldots,e_m\}.$$ La proyección ortogonal de cualquier vector $x$ de $\mathbb{K}^m$ sobre $\mathbb{K}^m$ es claramente $x,$ luego la matriz de proyección sobre $\mathbb{K}^m$ es la identidad. En consecuencia, $$I=vv^*+e_2e_2^*+\cdots +e_me_m^*.$$ Es decir, $I=vv^*+P,$ de lo cual se deduce $$P=I-vv^*=I-\frac{N}{\sqrt{N^*N}}\frac{N^*}{\sqrt{N^*N}}=I-\dfrac{NN^*}{N^*N}.$$ $b)$ Tenemos $N=\left(2,i,2\right)^T,$ por tanto $$P=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}-\frac{1}{9}\begin{bmatrix}{2}\\{i}\\{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{-i}&{2}\end{bmatrix}=\ldots=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}{\;\;5}&{2i}&{-4}\\{-2i}&{8}&{-2i}\\{-4}&{2i}&{\;\;5}\end{bmatrix},$$ $$S=2P-I=\ldots=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}{\;\;\;1}&{4i}&{-8} \\{-4i}&{\;\;7}& -4i\\{-8}&{4i}&{\;\;\;1}\end{bmatrix}.$$ $c)$ El vector pedido es $$Sx=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}{\;\;\;1}&{4i}&{-8} \\{-4i}&{\;\;7}& -4i\\{-8}&{4i}&{\;\;\;1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{bmatrix}=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}{-7+4i}\\{\;\;7-8i}\\{-7+4i}\end{bmatrix}.$$
  6. $a)$ Tenemos $$P^2=\left(A\left(A^*A\right)^{-1}A^*\right)\left(A\left(A^*A\right)^{-1}A^*\right)=A\left(A^*A\right)^{-1}\left(A^*A\right)\left(A^*A\right)^{-1}A^*$$ $$=AI\left(A^*A\right)^{-1}A^*=A\left(A^*A\right)^{-1}A^*=P\Rightarrow P\text{ es idempotente.}$$ $$P^*=\left(A\left(A^*A\right)^{-1}A^*\right)^*=\left(A^*\right)^*\left(\left(A^*A\right)^{-1}\right)^*A^*=A\left(\left(A^*A\right)^*\right)^{-1}A^*$$ $$=A\left(A^*A\right)^{-1}A^*=P\Rightarrow P\text{ es hermítica.}$$ $b)$ Tenemos $$S^*S=(2P-I)^*(2P-I)=(2P^*-I)(2P-I)=(2P-I)(2P-I)$$ $$=4P^2-2P-2P+I=4P-4P+I=0\Rightarrow S\text{ es unitaria.}$$ $$S^*=(2P-I)^*=2P^*-I=2P-I=S\Rightarrow S\text{ es hermítica.}$$
  7. Consideremos el subespacio $F$ de $\mathbb{K}^n$ generado por las columnas de $P.$ Es decir, $$F=\{Px:x\in\mathbb{K}^n\}.$$ Veamos que $P$ es la matriz de proyección sobre el subespacio $F.$ En efecto, para todo $x\in \mathbb{K}^n$ se verifica $Px\in F$ por la propia definición de $F.$ Por otra parte, $$x=\underbrace{Px}_{\in F}+\left(x-Px\right)\quad \forall x\in \mathbb{K}^n.$$ Veamos que $x-Px\in F^{\perp}.$ En efecto, todo $y\in F$ es de la forma $y=Pz$ para algún $z\in \mathbb{K}^n,$ por tanto $$\langle x-Px,y\rangle=\langle x-Px,Pz\rangle=\langle x,Pz\rangle-\langle Px,Pz\rangle$$ $$=\left(Pz\right)^*x-\left(Pz\right)^*\left(Px\right)=z^*P^*x-z^*P^*Px$$ $$\underbrace{=}_{P\text{ hermit.}}z^*Px-z^*P^2x\underbrace{=}_{P\text{ idemp.}}z^*Px-z^*Px=0.$$
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