Matrices de proyección y simetría

Proporcionamos ejemplos relativos a las matrices  de proyección y simetría sobre subespacios de $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ cuando el producto escalar es el usual.

1 $1.$ Sea $\mathbb{K}^m$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) dotado del producto escalar usual y $F$ un subespacio de $\mathbb{K}^m.$ Sea $B_F=\{e_1,e_2,\ldots e_r\}$ una base ortonormal de $F.$ Demostrar que la proyección ortogonal $p$ sobre $F$ viene dada por $$p:\mathbb{K}^m\to \mathbb{K}^m, \quad p(x)=\left(e_1e_1^*+e_2e_2^*+\cdots +e_re_r^*\right)x,\text{ con } x=\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_m}\end{bmatrix}. $$ A la matriz $P=e_1e_1^*+e_2e_2^*+\cdots +e_re_r^*$ se la llama matriz de proyección sobre el subespacio $F.$
$2.$ Como aplicación, hallar la matriz de proyección en $\mathbb{R}^3$ sobre $F\equiv x_1+x_2+x_3.$

SOLUCIÓN

2 Demostrar que la matriz $P$ de proyección es idempotente y hermítica.

SOLUCIÓN

3 Sea $A\in\mathbb{K}^{m\times n}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) una matriz con sus $n$ columnas linealmente independientes. Demostrar que la matriz $A^*A$ es invertible.

SOLUCIÓN

4 $1.$ Sea $A\in\mathbb{K}^{m\times n}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) una matriz con sus $n$ columnas linealmente independientes. Sea $\mathbb{K}^m$ dotado del producto escalar usual. Demostrar que la matriz de proyección $P$ sobre el subespacio columna de $A$ es $$P=A\left(A^*A\right)^{-1}A^*.$$ $2.$ Como aplicación, calcular la matrices de proyección $P$ y simetría $S$ sobre el subespacio de $\mathbb{R}^4:$ $$F\equiv\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2x_1-2x_2+x_4=0\\& 3x_1-2x_2+2x_3-x_4=0\\ & 4x_1-2x_2+4x_3-3x_4=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN

6 Sea $A\in\mathbb{K}^{m\times n}$ matriz real o compleja y con columnas linealmente independientes. Sean $P$ y $S$ las matrices de proyección y simetría respectivamente sobre el subespacio columna de $A$ y con respecto del producto escalar usual, esto es $$P=A\left(A^*A\right)^{-1}A^*,\quad S=2P-I.$$ Usando las fórmulas anteriores demostrar que:
$1.$ $P$ es idempotente y hermítica.
$2.$ $S$ es unitaria y hermítica.

SOLUCIÓN

7 Sea $P\in\mathbb{K}^{n\times n}$ con $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ una matriz idempotente y hermítica, es decir $P^2=P$ y $P^*=P.$ Demostrar que $P$ es la matriz de proyección sobre un determinado subespacio de $\mathbb{K}^n$ con el producto escalar usual.

SOLUCIÓN
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