Giros alrededor de una recta

Proporcionamos la manera de determinar giros alrededor de una recta orientada de $\mathbb{R}^3$ que pasa por el origen.

    Enunciado
  1. Sea $r$ una recta de $\mathbb{R}^3$ que pasa por el origen y $e_1$ un vector unitario en la dirección de $r.$ Sea $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ una base ortonormal de $\mathbb{R}^3$ tal que $e_1\times e_2=e_3.$ Demostrar que la matriz del giro de ángulo $\alpha$ alrededor de $r$ es $$G=E\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{\cos \alpha}&{-\text{sen }\alpha}\\{0}&{\text{sen }}\alpha&{\;\;\cos \alpha}\end{bmatrix}E^T,\text{ siendo }E=\begin{bmatrix}{e_1},e_2,e_3\end{bmatrix}.$$
  2. Hallar la matriz del giro de ángulo $\pi/2$ alrededor de la recta orientada $$r:x=0,\;y=4\lambda,\;z=3\lambda\quad (\lambda>0),$$ y el transformado del punto $P=(1,1,1)^T$ por tal giro.
    Solución
  1. De manera obvia, $G(e_1)=e_1.$ Denotemos también por $G$ a la restricción del giro en el plano determinado por $e_2$ y $e_3.$ Las coordenadas de $e_2$ en este plano son $[1,0]^T$ y las de $e_3,$ $[0,1]^T$ Dado que $e_3=e_1\times e_2,$ $$G\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\cos \alpha}&{-\text{sen }\alpha}\\{\text{sen }}\alpha&{\;\;\cos \alpha}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\cos \alpha}\\ \text{sen }\alpha\end{bmatrix},$$ $$G\begin{bmatrix}{0}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\cos \alpha}&{-\text{sen }\alpha}\\{\text{sen }}\alpha&{\;\;\cos \alpha}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{-\text{sen }\alpha}\\ \;\;\cos\alpha\end{bmatrix}.$$ Tenemos por tanto, $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & G(e_1)=e_1\\& G(e_2)=(\cos \alpha)\; e_2 +(\text{sen }\alpha)\;e_3\\& G(e_3)=-(\text{sen } \alpha)\; e_2 +(\cos\alpha)\;e_3.\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Entonces, $$GE=G\begin{bmatrix}{e_1},e_2,e_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{Ge_1},Ge_2,Ge_3\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix}{e_1},(\cos \alpha)\; e_2 +(\text{sen }\alpha)\;e_3,-(\text{sen } \alpha)\; e_2 +(\cos\alpha)\;e_3\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix}{e_1},e_2,e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{\cos \alpha}&{-\text{sen }\alpha}\\{0}&{\text{sen }}\alpha&{\;\;\cos \alpha}\end{bmatrix}=E\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{\cos \alpha}&{-\text{sen }\alpha}\\{0}&{\text{sen }}\alpha&{\;\;\cos \alpha}\end{bmatrix}.$$ Pero $E$ es ortogonal (sus columnas forman sistema ortonormal), por tanto $E^{-1}=E^T.$ Queda $$G=E\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{\cos \alpha}&{-\text{sen }\alpha}\\{0}&{\text{sen }}\alpha&{\;\;\cos \alpha}\end{bmatrix}E^T.$$
  2. El vector $e_1=\frac{1}{5}(0,4,3)^T$ es un vector unitario en la dirección y sentido del eje. La base de $\mathbb{R}^3:$ $$B=\left\{\frac{1}{5}(0,4,3)^T,\frac{1}{5}(0,-3,4)^T,(1,0,0)^T\right\}$$ es ortonormal y verifica $e_1\times e_2=e_3.$ La matriz del giro es por tanto $$G=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}{0}&{\;\;0}&{5}\\{4}&{-3}&{0}\\{3}&{\;\;4}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{\cos \pi/2}&{-\text{sen }\pi/2}\\{0}&{\text{sen }}\pi/2&{\;\;\cos \pi/2}\end{bmatrix}\frac{1}{5}\begin{bmatrix}{0}&{\;\;4}&{3}\\{0}&{-3}&{4}\\{5}&{\;\;0}&{0}\end{bmatrix}$$ $$=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}{0}&{\;\;0}&{5}\\{4}&{-3}&{0}\\{3}&{\;\;4}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{\;\;0}\\{0}&{0}&{-1}\\{0}&{1}&{\;\;0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{\;\;4}&{3}\\{0}&{-3}&{4}\\{5}&{\;\;0}&{0}\end{bmatrix}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}{\;\,\;0}&{-15}&{20}\\{\;\;15}&{\;\;16}&{12}\\{-20}&{\;\;12}&{\;\;9}\end{bmatrix}.$$ El transformado del punto $P$ es $$GP=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}{\;\,\;0}&{-15}&{20}\\{\;\;15}&{\;\;16}&{12}\\{-20}&{\;\;12}&{\;9}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{bmatrix}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}{\;5}\\{43}\\{\;1}\end{bmatrix}.$$
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