Simetría de Householder

Demostramos una propiedad de la simetría de Householder.

Enunciado
Sea $N\neq 0$ un vector columna de $\mathbb{R}^n.$ Sabemos que la matriz de simetría respecto del hiperplano ortogonal a $N$ viene dada por $$H=I-2\frac{NN^T}{N^TN},$$ la cual se llama fórmula de Householder y a la simetría asociada, simetría de Householder. Sea $a\neq 0$ un vector columna de  $\mathbb{R}^n.$ Demostrar que existe al menos una simetría $H$ de Householder de modo que el vector $Ha$ tiene todas sus componentes nulas con excepción de la primera.

Solución
Consideremos el vector $N=a+\left\|a\right\|e_1,$ siendo $e_1$ el primer vector de la base canónica de $\mathbb{R}^n$ i.e. $e_1=(1,0,\ldots,0)^T.$ Hallemos $Ha:$  $$Ha=\left(I-2\frac{NN^T}{N^TN}\right)a=Ia-2\frac{NN^T}{N^TN}a=a-N\cdot2\frac{N^T}{N^TN}a.$$ Desarrollemos $N^TN:$ $$N^TN=\left(a+\left\|a\right\|e_1\right)^T\left(a+\left\|a\right\|e_1\right)=\left(a^T+\left\|a\right\|e_1^T\right)\left(a+\left\|a\right\|e_1\right)$$ $$=a^Ta+\left\|a\right\|e_1^Ta+\left\|a\right\|a^Te_1+\left\|a\right\|^2e_1^Te_1$$ $$=\left\|a\right\|^2+\left\|a\right\|\langle e_1,a \rangle+\left\|a\right\|\langle a,e_1 \rangle+\left\|a\right\|^2=2\left(\left\|a\right\|^2+\left\|a\right\|\langle e_1,a \rangle\right).$$ Por otra parte, $$2N^Ta=2\left(a^T+\left\|a\right\|e_1^T\right)a=2\left(a^Ta+\left\|a\right\|e_1^Ta\right)=2\left(\left\|a\right\|^2+\left\|a\right\|\langle e_1,a \rangle\right).$$ En consecuencia, $$Ha=a-N\cdot2\frac{N^T}{N^TN}a=a-\left(a+\left\|a\right\|e_1\right)\frac{2\left(\left\|a\right\|^2+\left\|a\right\|\langle e_1,a \rangle\right)}{2\left(\left\|a\right\|^2+\left\|a\right\|\langle e_1,a \rangle\right)}$$ $$=a-\left(a+\left\|a\right\|e_1\right)=-\left\|a\right\|e_1=\begin{bmatrix}-\left\|a\right\|\\\;\;\:0\\ \;\;\;\vdots\\{\;\;\;0}\end{bmatrix},$$ como queríamos demostrar.

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