Método del simplex: aprovechamiento de un monte

Usamos el método del simplex para optimizar la producción maderera y ganadera de un monte.

Enunciado
Un monte de $100$ Has se puede destinar a producción maderera y/o ganadera. La producción maderera se puede realizar con chopos que producen $10000$ u.m. (unidades monetarias)/Ha año. La producción ganadera se basa en el aprovechamiento de la hierba y las hojas de los fresnos. La hierba de las zonas sin arbolado puede mantener $50$ cabezas de ganado/Ha salvo en los meses de Julio y Agosto que no pueden mantener ninguna.

Las zonas arboladas sólo pueden mantener un $80$% de dicho número de cabezas en cuanto a hierba. En los meses de Julio y Agosto las hojas de una Ha de fresnos pueden alimentar 100 cabezas de ganado. La alimentación del ganado, sólo puede realizarse con los recursos indicados.

La cabeza de ganado produce una renta de $1.000$ u.m./año. Se desea plantear el aprovechamiento del monte de manera que la renta anual sea máxima. Para ello:

$(a)$ Designar las variables del problema. Plantear las condiciones del sistema y la función objetivo.
$(b)$ Expresar el problema en forma estándar o normalizado, añadiendo las variables de holgura necesarias. Encontrar una solución factible básica con variables básicas las de holgura y la superficie poblada por chopos.
$(c)$ Proseguir por el método del simplex hasta encontrar la solución óptima.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
$(a)$ Denotemos por $$\begin{aligned}&H:\text{ superficie de hierba sin arbolado.}\\& C:\text{ superficie de chopos.}\\& F:\text{ superficie de fresnos.}\\ & G: \text{ número de cabezas de ganado.}\end{aligned}$$ De las condiciones dadas, $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & G\leq 50 H+40C+40F\\& G\leq 100F\quad \text{(Julio y Agosto)}\\ & H+C+F\leq 100\\& H\geq 0,\;C\geq 0,\;F\geq 0,\;G\geq 0, \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ y la función objetivo a maximizar es $z=10.000C+1.000G.$

$(b)$ Añadiendo las variables de holgura $x_i\geq 0$ $(i=1,2,3),$ $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & C+F+H+x_1=100\\& -40C-40F-50H+x_2=0\\ & -100F+G+x_3=0\\& -10.000C-1.000G+z=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$  Expresemos el problema en forma matricial escribiendo ordenadamente en filas los coeficientes de $C,$ $F,$ $H,$ $G,$ $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $z$ y los términos constantes: $$\left[\begin{array}{cccccccc|c}
\;\;\;C & \;\;\;F & \;\;\;H & \;\;\;G & x_1 & x_2 & x_3 & z & b\\
\;\;\;\boxed{1} & \;\;\;1 & \;\;\;1 & \;\;\;0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 100 \\
-40 & -40 & -50 & \;\;\;1 & 0 & \boxed{1} & 0 & 0 & 0 \\
\;\;\;0 & -100 & \;\;\;0 & \;\;\;1 & 0 & 0 & \boxed{1} & 0 & 0 \\
-10.000 & \;\;\;0 & \;\;\;0 & -1.000 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right]\begin{matrix}F_2+40 F_1\\F_4+10.000F_1\end{matrix}$$ $$\sim  \left[\begin{array}{cccccccc|c}
C & \;\;\;F & \;\;\;H & \;\;\;G & x_1 & x_2 & x_3 & z & b\\
\boxed{1} & \;\;\;1 & \;\;\;1 & \;\;\;0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 100 \\
0 & \;\;\;0 & -10 & \;\;\;1 & 40 & \boxed{1} & 0 & 0 & 4.000 \\
0 & -100 & \;\;\;0 & \;\;\;1 & 0 & 0 & \boxed{1} & 0 & 0 \\
0 & 10.000 & 10.000 & -1.000 & 10.000 & 0 & 0 & 1 & 1.000.000
\end{array}\right]$$ Una solución factible básica es  $(100,0,0,0,0,4.000,0)^t,$  para la cual  $z=1.000.000$. La solución no es máxima al existir algún coeficiente negativo para las variables en la última fila.

$(c)$ Seguimos con el método del simplex. Fabricando ceros en la columna de $G,$ $$ \left[\begin{array}{cccccccc|c}
C & \;\;\;F & \;\;\;H & \;\;\;G & x_1 & x_2 & x_3 & z & b\\
\boxed{1} & \;\;\;1 & \;\;\;1 & \;\;\;0 & 1 & 0 & \;\;0 & 0 & 100 \\
0 & \;\;100 & -10 & \;\;\;0 & 40 & \boxed{1} & -1 & 0 & 4.000 \\
0 & -100 & \;\;\;0 & \;\;\;\boxed{1} & 0 & 0 & \;\;1 & 0 & 0 \\
0 & -90.000 & 10.000 & \;\;\;0 & 10.000 & 0 & 1.000 & 1 & 1.000.000
\end{array}\right]$$ Multiplicando por $1/100$ a la segunda fila,$$ \left[\begin{array}{cccccccc|c}
C & \;\;\;F & \;\;\;H & \;\;\;G & x_1 & x_2 & x_3 & z & b\\
\boxed{1} & \;\;1 & \;\;\;1 & \;\;\;0 & 1 & 0 & \;\;0 & 0 & 100 \\
0 & \;\;\boxed{1} & -1/10 & \;\;\;0 & 2/5 & 1/100 & -1/100 & 0 & 40 \\
0 & -100 & \;\;\;0 & \;\;\;\boxed{1} & 0 & 0 & \;\;1 & 0 & 0 \\
0 & -90.000 & 10.000 & \;\;\;0 & 10.000 & 0 & 1.000 & 1 & 1.000.000
\end{array}\right]$$ Fabricando ceros en la columna de $F,$ $$ \left[\begin{array}{cccccccc|c}
C & \;\;\;F & \;\;\;H & \;\;\;G & x_1 & x_2 & x_3 & z & b\\
\boxed{1} & \;\;\;0 & 11/10 & \;\;\;0 & 3/5 & -1/100 & 1/100 & 0 & 60 \\
0 & \;\;\boxed{1} & -1/10 & \;\;\;0 & 2/5 & 1/100 & -1/100 & 0 & 40 \\
0 & \;\;0 & -10 & \;\;\;\boxed{1} & 40 & 1 & \;\;0 & 0 & 4.000 \\
0 & \;\;0 & 1.000 & \;\;\;0 & 46.000 & 900 & 100 & 1 & 4.600.000
\end{array}\right]$$ Una solución factible básica es $$(C,F,H,G,x_1,x_2,x_3)^t=(60,40,0,4.000,0,0,0)^t.$$ para la cual $z=4.600.000.$ La solución es máxima debido a la ausencia de coeficientes negativos para las variables en la última fila. Es decir, el mejor aprovechamiento del monte se obtiene con $60$ Has de chopos, $40$ Has de fresnos y con $4.000$ cabezas de ganado, siendo el beneficio máximo de $4.600.000$ u.m.

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