Raíces de $f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1$

Calculamos las raíces de un determinado polinomio complejo.

Enunciado
Sea  $f(x)\in \mathbb{C}[x],\quad f(x)=x^3+\dfrac{1+\sqrt{7}i}{2}x^2-\dfrac{1-\sqrt{7}i}{2}x-1.$

$1)$  Comprobar que  $f(x^2)=-f(x)f(-x).$
$2)$ Demostrar que si $a$ es un cero de $f(x),$ entonces $\left|a\right|=1.$
$3)$ Demostrar que si $1,j,j^2$ son las raíces cúbicas de la unidad, dichas raíces no son ceros de $f(x)$
$4)$ Demostrar que si $a$ es un cero de $f(x)$ entonces, $a^7=1.$
$5)$ Determinar las raíces de $f(x).$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
$1)$ Podemos escribir $$f(x)=x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1\text{ con }\beta=\dfrac{1+\sqrt{7}i}{2}.$$ Entonces, $$-f(x)f(-x)=-\left((x^3+\beta x^2-\overline{\beta}x-1\right)\left(-x^3+\beta x^2+\overline{\beta}x-1\right)$$ $$=\ldots=x^6-\left(\beta^2+2\overline{\beta}\right)x^4+\left(\overline{\beta}^2+2\beta\right)x^2-1.$$ Por otra parte, $$\beta^2+2\overline{\beta}=\frac{1-7+2\sqrt{7}i}{4}+2\dfrac{1-\sqrt{7}i}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{7}}{2}i=-\beta.$$ $$\overline{\beta}^2+2\beta=\frac{1-7-2\sqrt{7}i}{4}+2\dfrac{1+\sqrt{7}i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}i=-\overline{\beta}.$$ Por tanto, $-f(x)f(-x)=x^6+\beta x^4-\overline{\beta}x^2-1=f(x^2).$

$2)$ El número de raíces de $f(x)$ es finito, por tanto $$a\text{ es cero de }f\Rightarrow f(a)=0\Rightarrow f(a^2)=-f(a)f(a)=0\Rightarrow a^2\text{ es cero de }f$$ $$\Rightarrow a,a^2,a^4,a^8,\ldots\text{ son ceros de }f\Rightarrow \left|a\right|=0\vee \left|a\right|=1.$$ Como $0$ no es raíz de $f(x),$ ha de ser necesariamente $\left|a\right|=1.$

$3)$ Las raíces cúbicas de la unidad son $$1,\quad j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad j^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,$$ y fácilmente comprobamos que no anulan a $f(x).$

$4)$ Si $a$ es un cero de $f(x)$ entonces $a,$ $a^2,$ $a^4$ y $a^8$ son ceros de $f(x)$ según vimos, por tanto hay dos repetidos entre ellos. Tenemos: $$a=a^2\underbrace{\Rightarrow}_{a\neq 0} a=1\text{ (absurdo),}\quad a=a^4\underbrace{\Rightarrow}_{a\neq 0} a^3=1\text{ (absurdo).}$$ $$a^2=a^4\underbrace{\Rightarrow}_{a\neq 0} a^2=1\underbrace{\Rightarrow}_{a^2 \text{ cero de }f(x)}\text{ (absurdo).}$$ $$a^2=a^8\underbrace{\Rightarrow}_{a\neq 0} \left(a^2\right)^3=1\underbrace{\Rightarrow}_{a^2 \text{ cero de }f(x)}\text{ (absurdo).}$$ $$a^4=a^8\underbrace{\Rightarrow}_{a\neq 0} a^4=1\underbrace{\Rightarrow}_{a^4 \text{ cero de }f(x)}\text{ (absurdo).}$$ Necesariamente, $a=a^8,$ y al ser $a\ne 0,$ queda $a^7=1.$

$5)$ Si $a$ es cero de $f(x),$ cumple $a^7=1$ por tanto las raíces de $f(x)$ han de ser tres del conjunto $$\left\{1,w,w^2,w^3,w^4,w^5,w^6\right\}\text{ siendo }w=e^{2\pi i/7}.$$ Como $1$ no es raíz de $f(x)$ han de ser o bien $w,$ $w^2$ y $w^4,$ o bien $w^3,$ $w^5$ y $w^6$ (pues si $a$ es raíz de $f(x),$ también lo es $a^2$). Si $a,$ $b,$ $c$ son las raíces de $f(x)$ se verifica por la fórmulas de Cardano-Vieta $$a+b+c=-\dfrac{1+\sqrt{7}i}{2},\text{ por tanto, }\text{Im }(a+b+c)=-\frac{\sqrt{7}}{2}<0.$$ Por otra parte, $\text{Im }(w+w^2+w^4)>0,$ en consecuencia las raíces de $f(x)$ son $$w^3=e^{6\pi i/7},\quad w^5=e^{10\pi i/7},\quad w^6=e^{12\pi i/7}.$$

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