Matrices con cuadrado nulo

Determinamos las matrices complejas cuadradas de ordenes $2$ y $3$ con cuadrado nulo, usando formas canónicas de Jordan.

Enunciado
$(a)$ Caracterizar las matrices complejas $X$ de orden $2\times 2$ que satisfacen $X^2=0.$
$(b)$ Idem para las de orden $3\times 3$ que satisfacen $X^2=0.$

Solución
$(a)$ Dado que $X^2=0,$ los posibles polinomios mínimos de $X$ son $\lambda$ o $\lambda^2.$ Es decir, las formas canónicas de Jordan de $X$ son $$J_1=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\;\vee\;J_2=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}.$$ Entonces, si $X^2=0,$  $X$ es necesariamente de la forma $X=PJ_kP^{-1}$ con $k=1$ o $k=2$ y $P$ invertible. Pero para toda $P$ invertible con $X=PJ_kP^{-1}:$ $$X^2=\left(PJ_kP^{-1}\right)\left(PJ_kP^{-1}\right)=PJ_k^2P^{-1}=P0P^{-1}=0.$$ En consecuencia, las matrices de orden $2\times 2$ que satisfacen $X^2=0$ son las matrices semejantes a $J_1$ o a $J_2.$

$(b)$ El razonamiento es totalmente análogo. Ahora las posibles formas de Jordan de $X$ son  $$K_1=\begin{bmatrix}{0}&{0}& 0\\{0}&{0}& 0\\{0}&{0}& 0\end{bmatrix}\;\vee\;K_2=\begin{bmatrix}{0}&{1}& 0\\{0}&{0}& 0\\{0}&{0}& 0\end{bmatrix}.$$ Por tanto, las matrices de orden $3\times 3$ que satisfacen $X^2=0$ son las matrices semejantes a $K_1$ o a $K_2.$

Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.