Concepto de integral impropia en intervalos infinitos

Definimos el concepto de integral impropia en intervalos infinitos, y damos ejemplos de cálculo.

1 Calcular:  $$(a)\;\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x}.\quad (b)\;\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^3}.\quad (c)\;\displaystyle\int_0^{+\infty}\text{sen }x\;dx.$$

SOLUCIÓN

2 Calcular:  $\;(a)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{-1}\frac{dx}{x^2}.\quad (b)\;\displaystyle\int_{-\infty}^0\frac{dx}{4+x^2}.$

SOLUCIÓN

3 Calcular $\;(a)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}.\quad (b)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+4x+9}.$

SOLUCIÓN

4 Calcular $\;I=\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ con $p\in\mathbb{R}.$

SOLUCIÓN

5  Sean  $f,g:[a,+\infty)$ continuas a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y supongamos que $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ y $\int_a^{+\infty}g(x)\;dx$ son convergentes. Demostrar que:

$a)$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}\left(f(x)+g(x)\right)dx$ es convergente y $$\displaystyle\int_a^{+\infty}\left(f(x)+g(x)\right)dx=\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\;dx+\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\;dx.$$ $b)$ Para todo $\lambda\in\mathbb{R},$  $\displaystyle \int_a^{+\infty}\lambda f(x)\;dx$ es convergente y $$\int_a^{+\infty}\lambda f(x)\;dx=\lambda \int_a^{+\infty}f(x)\;dx.$$

SOLUCIÓN

6 Calcular $\;\displaystyle\int_2^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}.$

SOLUCIÓN

7 Calcular $\;\displaystyle\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{1-x^3}.$

SOLUCIÓN

8 $(a)$ Estudiar la convergencia de la integral $$\int_{-\infty}^s\frac{t}{t^4+1}dt$$ en función del valor $s\in\mathbb{R}.$
$(b)$ Calcular los límites $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}F(x)$ y $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}F(x)$ siendo $$F(x)=\int_{-\infty}^x\frac{t}{t^4+1}dt.$$

SOLUCIÓN

9 Sabiendo que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}x}{x}dx=\frac{\pi}{2},$ calcular $$(a)\;\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos x}{x^2}dx.\quad (b)\;\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}^2x}{x^2}dx.\quad (c)\;\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}^4x}{x^2}dx. $$

SOLUCIÓN

10 Sea $f:[a,+\infty)\to \mathbb{R}$ continua a trozos en cualquier intervalo $[a,b]$ tal que $$\int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx \text{ es convergente, y }\lim_{x\to +\infty}f(x)=A\in\mathbb{R}. $$ Demostrar que $A=0.$

SOLUCIÓN
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