Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos

Estudiamos criterios de convergencia para las integrales impropias en intervalos infinitos.

1  Sea $f:[a,+\infty]\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y $a’\ge a.$ Demostrar que $$\int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Leftrightarrow \int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$

SOLUCIÓN

2  Sea $f\ge 0$ en $[a,+\infty)$ y continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ existe, pudiendo ser finita o no serlo.

SOLUCIÓN

3 Sean $f,g:[a,+\infty)$ funciones tales que $0\le f\le g$ y continuas a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $$(i)\;\int_a^{+\infty}g(x)\;dx\text{ es convergente}\Rightarrow \int_a^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente.} $$ $$(ii)\;\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es divergente}\Rightarrow \int_a^{+\infty}g(x)\;dx\text{ es convergente.}$$

SOLUCIÓN

4 Sean $f,g:[a,+\infty)$ funciones tales que $f\ge 0,g\ge 0$ y continuas a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Supongamos que $f(x)\sim g(x)$ cuando $x\to +\infty,$ es decir $$\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L\neq 0.$$ Demostrar que las integrales $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ y $\int_a^{+\infty}g(x)\;dx$ son ambas convergentes o ambas divergentes.

SOLUCIÓN

5 Dada la integral impropia $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x+2}{x^3+x}dx,$
$(a)$ Estudiar su convergencia.
$(b)$ Calcularla caso de ser convergente.

SOLUCIÓN

6 Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias $$(a)\;\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.\quad (b)\;\int_{1}^{+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^3}}dx.\quad (c)\;\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}+\cos^2 x}.$$

SOLUCIÓN

7 Analizar la convergencia de la integral de Euler $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx.$

SOLUCIÓN

8 Estudiar si la integral $\;\displaystyle\int _1^{+\infty}\frac{3x\;dx}{\sqrt{x^4+2x+1}}$ es convergente o divergente.

SOLUCIÓN
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