Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos

Estudiamos criterios de convergencia para las integrales impropias en intervalos infinitos.

    Enunciado
  1. Sea $f:[a,+\infty]\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y $a’\ge a.$ Demostrar que $$\int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Leftrightarrow \int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$
  2. Sea $f\ge 0$ en $[a,+\infty)$ y continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ existe, pudiendo ser finita o no serlo.
  3. Sean $f,g:[a,+\infty)$ funciones tales que $0\le f\le g$ y continuas a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $$(i)\;\int_a^{+\infty}g(x)\;dx\text{ es convergente}\Rightarrow \int_a^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente.} $$ $$(ii)\;\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es divergente}\Rightarrow \int_a^{+\infty}g(x)\;dx\text{ es convergente.}$$
  4. Sean $f,g:[a,+\infty)$ funciones tales que $f\ge 0,g\ge 0$ y continuas a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Supongamos que $f(x)\sim g(x)$ cuando $x\to +\infty,$ es decir $$\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L\neq 0.$$ Demostrar que las integrales $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ y $\int_a^{+\infty}g(x)\;dx$ son ambas convergentes o ambas divergentes.
  5. Dada la integral impropia $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x+2}{x^3+x}dx,$
    $(a)$ Estudiar su convergencia.
    $(b)$ Calcularla caso de ser convergente.
  6. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias $$(a)\;\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.\quad (b)\;\int_{1}^{+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^3}}dx.\quad (c)\;\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}+\cos^2 x}.$$
  7. Analizar la convergencia de la integral de Euler $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx.$
  8. Estudiar si la integral $\;\displaystyle\int _1^{+\infty}\frac{3x\;dx}{\sqrt{x^4+2x+1}}$ es convergente o divergente.
    Solución
  1. Dado que $\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\int_{a}^{a’}f(x)\;dx+\int_{a’}^{b}f(x)\;dx,$ y que $\int_{a}^{a’}f(x)\;dx$ es finita, $$\int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Rightarrow \exists \lim_{b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)\;dx=L\in\mathbb{R}$$ $$\Rightarrow \int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{b\to +\infty}\int_{a’}^{b}f(x)\;dx=\lim_{b\to +\infty}\left(\int_{a}^{b}f(x)\;dx-\int_{a}^{a’}f(x)\;dx\right)$$ $$=L-\int_{a}^{a’}f(x)\;dx\in\mathbb{R}\Rightarrow \int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$ Recíprocamente, $$\int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Rightarrow \exists \lim_{b\to +\infty}\int_{a’}^{b}f(x)\;dx=L’\in\mathbb{R}$$ $$\Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\lim_{b\to +\infty}\left(\int_{a}^{a’}f(x)\;dx+\int_{a’}^{b}f(x)\;dx\right)$$ $$=\int_{a}^{a’}f(x)\;dx+L’\in\mathbb{R}\Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$
  2. Si $b’\ge b\ge a,$ tenemos $$\int_{a}^{b’}f(x)\;dx-\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\int_{b}^{b’}f(x)\;dx\ge 0,$$ luego la función $b\to \int_a^bf(x)\;dx$ es creciente en $[a,+\infty).$ En consecuencia, tiene límite cuando $b\to +\infty$ pudiendo ser finito o no serlo.
  3. Dado que $f\ge 0$ y $g\ge 0,$ existen $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ e $\int_a^{+\infty}g(x)\;dx$ pudiendo ser cada una de ellas finita o no. Al ser $0\le f\le g,$ se verifica para todo $b\ge a$ $$\int_a^{b}f(x)\;dx\le \int_a^{b}g(x)\;dx.$$ Tomando límites cuando $b\to +\infty,$ $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\le \int_a^{+\infty}g(x)\;dx$$ y las implicaciones $(i)$ y $(ii)$ son consecuencias inmediatas de la desigualdad anterior.
  4. Como $L\neq 0,$ ha de ser necesariamente $L>0.$ Eligiendo $\epsilon =L/2,$ existe $c\ge a$ tal que $\left|f(x)/g(x)-L\right|<L/2$ si $x\geq c.$ De forma equivalente, $$\frac{L}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{3L}{2}\text{ si }x\geq c.$$ Entonces, $$\int_a^{+\infty}g(x)\;dx\text{ conv.}\Rightarrow \int_c^{+\infty}g(x)\;dx\text{ conv.}\Rightarrow \int_c^{+\infty}\frac{3L}{2}g(x)\;dx\text{ conv.}$$ $$\underbrace{\Rightarrow}_{0\le f(x)<(3L/2)g(x)}\int_c^{+\infty}f(x)\;dx\text{ conv.}\Rightarrow\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\text{ conv.}$$ Análogamente $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\text{ conv.}\Rightarrow \int_c^{+\infty}f(x)\;dx\text{ conv.}\Rightarrow \int_c^{+\infty}\frac{2}{L}\;f(x)\;dx\text{ conv.}$$ $$\underbrace{\Rightarrow}_{0\le g(x)<(2/L)f(x)}\int_c^{+\infty}g(x)\;dx\text{ conv.}\Rightarrow\int_a^{+\infty}g(x)\;dx\text{ conv.}$$
  5. $(a)$ Tenemos $$\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x+2}{x^3+x}:\frac{1}{x^2}\right)=1\ne 0\Rightarrow \frac{x+2}{x^3+x}\sim \frac{1}{x^2}\;\;(x\to +\infty),$$ y la integral $\int_1^{+\infty}dx/x^2$ es convergente, lo cual implica que la integral dada también es convergente.
    $(b)$ Descomponiendo en fracciones simples: $$\frac{x+2}{x^3+x}=\frac{2}{x}+\frac{-2x+1}{x^2+1}.$$ Por tanto $$\int_1^{a}\frac{x+2}{x^3+x}dx=2\int_1^{a}\frac{dx}{x}+\int_1^{a}\frac{-2x}{x^2+1}dx+\int_1^{a}\frac{dx}{x^2+1}$$ $$=2\left[\log x\right]_1^a-\left[\log (x^2+1)\right]_1^a+\left[\arctan x\right]_1^a$$ $$=2\log a-\log (a^2+1)+\log 2+\arctan a-\frac{\pi}{4}$$ $$\Rightarrow \int_1^{+\infty}\frac{x+2}{x^3+x}dx=\lim_{a\to +\infty}\left(\log\frac{a^2}{a^2+1}+\arctan a+\log 2-\frac{\pi}{4}\right)$$ $$=\log 1+\arctan (+\infty)+\log 2-\frac{\pi}{4}=0+\frac{\pi}{2}+\log 2-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+\log 2.$$
  6. $(a)$ La función integrando es positiva en $[1,+\infty).$ Además, $$\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}:\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right)=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{x^3}{x^3+1}}=\sqrt{1}=1\neq 0.$$ La integral dada tiene el mismo carácter que $$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3}}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{3/2}}\text{ (convergente),}$$ y por tanto es convergente.
    $(b)$ La función integrando es positiva en $[1,+\infty).$ Además, $$\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^3}}:\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{x\sqrt{x}+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}}=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)=1\neq 0.$$ La integral dada tiene el mismo carácter que $$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{1/2}}\text{ (divergente),}$$ y por tanto es divergente.
    $(c)$ La función integrando es positiva en $[1,+\infty).$ Además, $$L=\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\cos^2 x}:\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\cos^2 x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{\cos^2x}{\sqrt{x}}}.$$ Pero $\cos^2x/\sqrt{x}\to 0$ cuando $x\to +\infty$ (acotada por infinitésimo), luego $L=1\ne 0.$ La integral dada tiene el mismo carácter que $$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{1/2}}\text{ (divergente),}$$ y por tanto es divergente.
  7. Podemos expresar $$\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx+\int_{1}^{+\infty}e^{-x^2}dx.$$ El primer sumando del segundo miembro es la integral de una función continua en un intervalo cerrado, en consecuencia existe y es finita. Por otra parte, $$x\ge 1\Rightarrow x\le x^2\Rightarrow -x^2\leq x\Rightarrow 0\le e^{-x^2}\leq e^{-x}.$$ Ahora bien, $$\int_{1}^{+\infty}e^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_1^{+\infty}=-e^{-\infty}+e^0=1\text{ (convergente).}$$ Por tanto, es convergente $\int_{1}^{+\infty}e^{-x^2}dx,$ y también la integral de Euler $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx.$
  8. La función integrando es continua y positiva en $[1,+\infty).$ Tenemos $$\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{3x}{\sqrt{x^5+2x+1}}:\frac{1}{x^{3/2}}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{3x^{5/2}}{\sqrt{x^5+2x+1}}$$ $$=3\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^5+2x+1}}=3\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{x^5}{x^5+2x+1}}=3\sqrt{1}=3\ne 0.$$ Pero $\int _1^{+\infty}dx/x^{3/2}$ es la integral $\int _1^{+\infty}dx/x^{p}$ con $p=3/2>1$ (convergente), luego la integral dada es convergente.
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