Criterios de convergencia de integrales impropias en intervalos infinitos

Publicada el marzo 30, 2015 por Fernando Revilla

Estudiamos criterios de convergencia para las integrales impropias en intervalos infinitos.

    Enunciado
  1. Sea $f:[a,+\infty]\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b]$ y $a’\ge a.$ Demostrar que $$\int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Leftrightarrow \int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$
  2. Sea $f\ge 0$ en $[a,+\infty)$ y continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ existe, pudiendo ser finita o no serlo.
  3. Sean $f,g:[a,+\infty)$ funciones tales que $0\le f\le g$ y continuas a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $$(i)\;\int_a^{+\infty}g(x)\;dx\text{ es convergente}\Rightarrow \int_a^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente.} $$ $$(ii)\;\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es divergente}\Rightarrow \int_a^{+\infty}g(x)\;dx\text{ es convergente.}$$
  4. Sean $f,g:[a,+\infty)$ funciones tales que $f\ge 0,g\ge 0$ y continuas a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Supongamos que $f(x)\sim g(x)$ cuando $x\to +\infty,$ es decir $$\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L\neq 0.$$ Demostrar que las integrales $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ y $\int_a^{+\infty}g(x)\;dx$ son ambas convergentes o ambas divergentes.
  5. Dada la integral impropia $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x+2}{x^3+x}dx,$
    $(a)$ Estudiar su convergencia.
    $(b)$ Calcularla caso de ser convergente.
  6. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias $$(a)\;\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.\quad (b)\;\int_{1}^{+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^3}}dx.\quad (c)\;\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}+\cos^2 x}.$$
  7. Analizar la convergencia de la integral de Euler $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx.$
  8. Estudiar si la integral $\;\displaystyle\int _1^{+\infty}\frac{3x\;dx}{\sqrt{x^4+2x+1}}$ es convergente o divergente.
    Solución
  1. Dado que $\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\int_{a}^{a’}f(x)\;dx+\int_{a’}^{b}f(x)\;dx,$ y que $\int_{a}^{a’}f(x)\;dx$ es finita, $$\int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Rightarrow \exists \lim_{b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)\;dx=L\in\mathbb{R}$$ $$\Rightarrow \int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{b\to +\infty}\int_{a’}^{b}f(x)\;dx=\lim_{b\to +\infty}\left(\int_{a}^{b}f(x)\;dx-\int_{a}^{a’}f(x)\;dx\right)$$ $$=L-\int_{a}^{a’}f(x)\;dx\in\mathbb{R}\Rightarrow \int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$ Recíprocamente, $$\int_{a’}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}\Rightarrow \exists \lim_{b\to +\infty}\int_{a’}^{b}f(x)\;dx=L’\in\mathbb{R}$$ $$\Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx=\lim_{b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\lim_{b\to +\infty}\left(\int_{a}^{a’}f(x)\;dx+\int_{a’}^{b}f(x)\;dx\right)$$ $$=\int_{a}^{a’}f(x)\;dx+L’\in\mathbb{R}\Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)\;dx\text{ es convergente}.$$
  2. Si $b’\ge b\ge a,$ tenemos $$\int_{a}^{b’}f(x)\;dx-\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\int_{b}^{b’}f(x)\;dx\ge 0,$$ luego la función $b\to \int_a^bf(x)\;dx$ es creciente en $[a,+\infty).$ En consecuencia, tiene límite cuando $b\to +\infty$ pudiendo ser finito o no serlo.
  3. Dado que $f\ge 0$ y $g\ge 0,$ existen $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ e $\int_a^{+\infty}g(x)\;dx$ pudiendo ser cada una de ellas finita o no. Al ser $0\le f\le g,$ se verifica para todo $b\ge a$ $$\int_a^{b}f(x)\;dx\le \int_a^{b}g(x)\;dx.$$ Tomando límites cuando $b\to +\infty,$ $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\le \int_a^{+\infty}g(x)\;dx$$ y las implicaciones $(i)$ y $(ii)$ son consecuencias inmediatas de la desigualdad anterior.
  4. Como $L\neq 0,$ ha de ser necesariamente $L>0.$ Eligiendo $\epsilon =L/2,$ existe $c\ge a$ tal que $\left|f(x)/g(x)-L\right|<L/2$ si $x\geq c.$ De forma equivalente, $$\frac{L}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{3L}{2}\text{ si }x\geq c.$$ Entonces, $$\int_a^{+\infty}g(x)\;dx\text{ conv.}\Rightarrow \int_c^{+\infty}g(x)\;dx\text{ conv.}\Rightarrow \int_c^{+\infty}\frac{3L}{2}g(x)\;dx\text{ conv.}$$ $$\underbrace{\Rightarrow}_{0\le f(x)<(3L/2)g(x)}\int_c^{+\infty}f(x)\;dx\text{ conv.}\Rightarrow\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\text{ conv.}$$ Análogamente $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\text{ conv.}\Rightarrow \int_c^{+\infty}f(x)\;dx\text{ conv.}\Rightarrow \int_c^{+\infty}\frac{2}{L}\;f(x)\;dx\text{ conv.}$$ $$\underbrace{\Rightarrow}_{0\le g(x)<(2/L)f(x)}\int_c^{+\infty}g(x)\;dx\text{ conv.}\Rightarrow\int_a^{+\infty}g(x)\;dx\text{ conv.}$$
  5. $(a)$ Tenemos $$\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x+2}{x^3+x}:\frac{1}{x^2}\right)=1\ne 0\Rightarrow \frac{x+2}{x^3+x}\sim \frac{1}{x^2}\;\;(x\to +\infty),$$ y la integral $\int_1^{+\infty}dx/x^2$ es convergente, lo cual implica que la integral dada también es convergente.
    $(b)$ Descomponiendo en fracciones simples: $$\frac{x+2}{x^3+x}=\frac{2}{x}+\frac{-2x+1}{x^2+1}.$$ Por tanto $$\int_1^{a}\frac{x+2}{x^3+x}dx=2\int_1^{a}\frac{dx}{x}+\int_1^{a}\frac{-2x}{x^2+1}dx+\int_1^{a}\frac{dx}{x^2+1}$$ $$=2\left[\log x\right]_1^a-\left[\log (x^2+1)\right]_1^a+\left[\arctan x\right]_1^a$$ $$=2\log a-\log (a^2+1)+\log 2+\arctan a-\frac{\pi}{4}$$ $$\Rightarrow \int_1^{+\infty}\frac{x+2}{x^3+x}dx=\lim_{a\to +\infty}\left(\log\frac{a^2}{a^2+1}+\arctan a+\log 2-\frac{\pi}{4}\right)$$ $$=\log 1+\arctan (+\infty)+\log 2-\frac{\pi}{4}=0+\frac{\pi}{2}+\log 2-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+\log 2.$$
  6. $(a)$ La función integrando es positiva en $[1,+\infty).$ Además, $$\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}:\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right)=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{x^3}{x^3+1}}=\sqrt{1}=1\neq 0.$$ La integral dada tiene el mismo carácter que $$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3}}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{3/2}}\text{ (convergente),}$$ y por tanto es convergente.
    $(b)$ La función integrando es positiva en $[1,+\infty).$ Además, $$\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x+1}{\sqrt{x^3}}:\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{x\sqrt{x}+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}}=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)=1\neq 0.$$ La integral dada tiene el mismo carácter que $$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{1/2}}\text{ (divergente),}$$ y por tanto es divergente.
    $(c)$ La función integrando es positiva en $[1,+\infty).$ Además, $$L=\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\cos^2 x}:\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\cos^2 x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{\cos^2x}{\sqrt{x}}}.$$ Pero $\cos^2x/\sqrt{x}\to 0$ cuando $x\to +\infty$ (acotada por infinitésimo), luego $L=1\ne 0.$ La integral dada tiene el mismo carácter que $$\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{1/2}}\text{ (divergente),}$$ y por tanto es divergente.
  7. Podemos expresar $$\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx+\int_{1}^{+\infty}e^{-x^2}dx.$$ El primer sumando del segundo miembro es la integral de una función continua en un intervalo cerrado, en consecuencia existe y es finita. Por otra parte, $$x\ge 1\Rightarrow x\le x^2\Rightarrow -x^2\leq x\Rightarrow 0\le e^{-x^2}\leq e^{-x}.$$ Ahora bien, $$\int_{1}^{+\infty}e^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_1^{+\infty}=-e^{-\infty}+e^0=1\text{ (convergente).}$$ Por tanto, es convergente $\int_{1}^{+\infty}e^{-x^2}dx,$ y también la integral de Euler $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx.$
  8. La función integrando es continua y positiva en $[1,+\infty).$ Tenemos $$\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{3x}{\sqrt{x^5+2x+1}}:\frac{1}{x^{3/2}}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{3x^{5/2}}{\sqrt{x^5+2x+1}}$$ $$=3\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{x^5+2x+1}}=3\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{x^5}{x^5+2x+1}}=3\sqrt{1}=3\ne 0.$$ Pero $\int _1^{+\infty}dx/x^{3/2}$ es la integral $\int _1^{+\infty}dx/x^{p}$ con $p=3/2>1$ (convergente), luego la integral dada es convergente.
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