Convergencia de las integrales de Fresnel

Demostramos la convergencia de las integrales de Fresnel.

Enunciado
Demostrar que las integrales de Fresnel $$\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,\quad \int_0^{+\infty}\text{sen } x^2\;dx,$$ son convergentes.

Solución
Haremos la demostración para $\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx,$ el razonamiento es análogo para la otra integral. Efectuando el cambio de variable $t=x^2$ $(x>0),$ obtenemos para $0<b\le b’:$ $$\int_b^{b’}\cos x^2\;dx=\int_{b^2}^{b’^2}(\cos t)\frac{1}{2\sqrt{t}}\;dt.$$ Aplicando el método de integración por partes, con $u=1/(2\sqrt{t})$ y $dv=\cos t,$ obtenemos $ du=-(1/4)t^{-3/2}$ y $v=\text{sen t},$ por tanto $$\int_{b^2}^{b’^2}(\cos t)\frac{1}{2\sqrt{t}}\;dt=\left[(\text{sen }t)\frac{1}{2\sqrt{t}}\right]_{b^2}^{b’^2}+\frac{1}{4}\int_{b^2}^{b’^2}(\text{sen } t)t^{-3/2}dt$$ $$=\frac{\text{sen }b’^2}{2b’}-\frac{\text{sen }b^2}{2b}+\frac{1}{4}\int_{b^2}^{b’^2}\frac{\text{sen }t}{t^{3/2}}dt$$ Entonces, $$\left|\int_b^{b’}\cos x^2\;dx\right|\leq \frac{1}{2b’}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{4}\left|\int_{b^2}^{b’^2}\frac{\text{sen }t}{t^{3/2}}dt\right|$$ $$\leq \frac{1}{2b’}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{4}\int_{b^2}^{b’^2}\left|\frac{\text{sen }t}{t^{3/2}}\right|dt\leq \frac{1}{2b’}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{4}\int_{b^2}^{b’^2}\frac{1}{t^{3/2}}dt.$$ Sea ahora $\epsilon >0.$ Dado que $\int_1^{+\infty}dt/t^{3/2}$ es convergente, existe (criterio de Cauchy) $b_0>0$ tal que $a’\ge a\ge b_0$ implica $$\int_a^{a’}\frac{dt}{t^{3/2}}< \epsilon.$$ Por otra parte, existe $b_1$ tal que $$b\ge b_1\Rightarrow \frac{1}{2b}<\frac{\epsilon}{3}.$$ Entonces, para $b’\ge b\ge \max\left\{b_1,\sqrt{b_0}\right\}$ se verifica $$\left|\int_b^{b’}\cos x^2\;dx\right|\le \frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{4}=\frac{11\epsilon}{12}<\epsilon.$$ Como consecuencia del criterio de Cauchy, la integral $\int_0^{+\infty}\cos x^2\;dx$ es convergente.