Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos

Enunciado
Demostrar el criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos infinitos:
Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que $$\int_a^{+\infty}f(x)\;dx \text{ es convergente}$$ $$\Leftrightarrow \forall \epsilon >0\;\exists b_0\text{ tal que } b’\ge b\ge b_0\Rightarrow \left|\int_b^{b’}f(x)\;dx\right|<\epsilon$$

Solución
Se verifica $$\left|\int_b^{b’}f(x)\;dx\right|=\left|\int_a^{b’}f(x)\;dx-\int_a^{b}f(x)\;dx\right|.$$ Basta ahora aplicar el criterio de Cauchy a la función $b\to \int_a^{b}f(x)\;dx.$

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