Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos

Demostramos que la convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos implica la convergencia, y proporcionamos un contraejemplo que demuestra que el recíproco no es cierto.

Enunciado
1. Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que si $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ es absolutamente convergente, entonces es convergente.
2. Demostrar que $\displaystyle\int_\pi^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}x}{x}dx$ es convergente pero no absolutamente convergente.

Solución
1. Si $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ es absolutamente convergente, entonces $\int_a^{+\infty}\left|f(x)\right|dx$ es convergente (definición de convergencia absoluta). Aplicando el criterio de Cauchy a esta ultima integral, $$\forall \epsilon >0\;\exists b_0\text{ tal que }b’\ge b\ge b_0\Rightarrow \int_b^{b’}\left|f(x)\right|dx<\epsilon.$$ Dado que $\left|\int_b^{b’}f(x)\;dx\right|\le\int_b^{b’}\left|f(x)\right|dx:$ $$\forall \epsilon >0\;\exists b_0\text{ tal que }b’\ge b\ge b_0\Rightarrow \left|\int_b^{b’}f(x)\;dx\right|<\epsilon.$$ Por tanto, la integral $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ satisface el criterio de Cauchy, en consecuencia es convergente.
2. Apliquemos el método de integración por partes. Si $u=1/x$ y $dv=\operatorname{sen}x,$ entonces $du=-dx/x^2$ y $v=\cos x,$ por tanto $$\int_\pi^{b}\frac{\operatorname{sen}x}{x}dx=\left[-\frac{\cos x}{x}\right]_\pi^b-\int_\pi^{b}\frac{\cos x}{x^2}dx.\quad (*)$$ Por otra parte, $$0\le \frac{\left|\cos x\right|}{x^2}\leq \frac{1}{x^2}\wedge \int_\pi^{+\infty}\frac{dx}{x^2}\text{ convergente} $$ $$\Rightarrow \int_\pi^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2}dx\text{ abs. convergente}\Rightarrow \int_\pi^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2}dx\text{ convergente.}$$ Tomando límites en $(*)$ cuando $b\to +\infty:$ $$\int_\pi^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}x}{x}dx=\lim_{b\to +\infty}\left(-\frac{\cos b}{b}-\frac{-1}{\pi}\right)-\int_\pi^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2}dx$$ $$=\frac{1}{\pi}-\int_\pi^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2}dx\Rightarrow\int_\pi^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}x}{x}dx\text{ convergente.}$$ Veamos que no converge absolutamente por reducción al absurdo. Efectivamente, si $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\left|\operatorname{sen x}\right|}{x}dx$ fuera convergente, también lo sería $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\left|\cos x\right|}{x}dx$ pues $$\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\left|\cos x\right|}{x}dx=\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\left|\operatorname{sen}\left( x+\frac{\pi}{2}\right)\right|}{x}dx\underbrace{=}_{t=x+\pi/2}\int_{3\pi/2}^{+\infty}\frac{\left|\operatorname{sen}t\right|}{t-\pi/2}dx$$ y esta última integral es convergente al ser $$\frac{\left|\operatorname{sen}t\right|}{t-\pi/2}\sim \frac{\left|\operatorname{sen}t\right|}{t}\quad (t\to +\infty).$$ En consecuencia, la integral $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\left|\operatorname{sen}x\right|+\left|\cos x\right|}{x}dx$ sería convergente. Pero esto es absurdo pues $\displaystyle\frac{\left|\operatorname{sen}x\right|+\left|\cos x\right|}{x}\geq \frac{1}{x}$ y la integral $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{1}{x}dx$ es divergente.
   Concluimos que $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\operatorname{sen x}}{x}dx$ es convergente pero no absolutamente convergente.