Convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos

Demostramos que la convergencia absoluta de integrales impropias en intervalos infinitos implica la convergencia, y proporcionamos un contraejemplo que demuestra que el recíproco no es cierto.

1  Sea $f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}$ continua a trozos en todo intervalo $[a,b].$ Demostrar que si $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ es absolutamente convergente, entonces es convergente.

SOLUCIÓN

2 Demostrar que  $\displaystyle\int_\pi^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}x}{x}dx$ es convergente pero no absolutamente convergente.

SOLUCIÓN
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