Integrales impropias en intervalos finitos

Proporcionamos ejemplos de cálculo y estudio de la convergencia de integrales impropias en intervalos finitos.

    Enunciado
  1. Calcular $\;(a)\;\displaystyle\int _0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}.\quad (b)\;\int _{-1}^2\frac{dx}{x}.$
  2. Calcular $\;I=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}$ con $p\in\mathbb{R}.$
  3. Calcular $\displaystyle\int_0^{3}\frac{dx}{(x-1)^2}.$
  4. Calcular $\displaystyle\int_0^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$
  5. Calcular $\displaystyle\int_0^{1/2}\frac{dx}{x\log x}.$
  6. Estudiar la convergencia de la integral $\displaystyle\int_1^{2}\frac{dx}{\log x}.$
  7. Estudiar la convergencia de la integral $\displaystyle\int_0^{1}\frac{\cos^2 x}{\sqrt[3]{1-x^2}}dx.$
  8. Analizar la convergencia de la integral $\displaystyle\int_0^1\frac{\log \left(1+\sqrt[3]{x}\right)}{e^{\operatorname{sen}x}-1}dx.$
  9. Estudiar el carácter de la integral $\displaystyle\int_0^1\frac{\cos \frac{1}{x}}{\sqrt[3]{x}}dx.$
  10. Calcular $\displaystyle\int_2^4\frac{1}{\sqrt[\text{E}(x)]{\left|x-3\right|}}dx,$ siendo $\text{E}(x)$ la función parte entera de de $x.$
    Solución
  1. $(a)$ La función integrando es continua salvo en $x=0,$ que tiene un punto de discontinuidad infinita. Entonces, $$\int _0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\epsilon\to 0^+}\int _{\epsilon}^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left[2\sqrt{x}\right]_{\epsilon}^1=\lim_{\epsilon\to 0^+}(2-2\sqrt{\epsilon})=2.$$ La integral es convergente.
    $(b)$ La función integrando es continua salvo en $x=0$ (punto interior del intervalo), que tiene un punto de discontinuidad infinita. Entonces, $$\int _{-1}^2\frac{dx}{x}=\int _{-1}^0\frac{dx}{x}+\int _{0}^2\frac{dx}{x},$$ en el supuesto de que las dos integrales del segundo miembro sean convergentes. Tenemos $$\int _0^2\frac{dx}{x}=\lim_{\epsilon\to 0^+}\int _{\epsilon}^2\frac{dx}{x}=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left[\log x\right]_{\epsilon}^1=\lim_{\epsilon\to 0^+}(-\log \epsilon)=+\infty.$$ La integral dada es divergente.
  2. Para $p=1$ tenemos $$\int_0^{1}\frac{dx}{x}=\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{\epsilon}^{1}\frac{dx}{x}=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left[\log x\right]_{\epsilon}^1=\lim_{\epsilon\to 0^+}(-\log \epsilon)=+\infty.$$ Si $p\ne 1$ tenemos $$\int_{\epsilon}^{1}\frac{dx}{x^p}=\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{\epsilon}^1=\frac{1}{-p+1}-\frac{\epsilon^{-p+1}}{-p+1}.$$ Si $p<1,$ es $-p+1>0,$ por tanto $$\frac{\epsilon^{-p+1}}{-p+1}\to 0\text{ si }\epsilon\to 0^+,$$ con lo cual $I=1/(1-p).$ Si $p>1$ es $-p+1<0,$ por tanto $$\frac{\epsilon^{-p+1}}{-p+1}\to -\infty\text{ si }\epsilon\to 0^+,$$ con lo cual $I=+\infty.$ Podemos concluir en que $$\int_0^{1}\frac{dx}{x^p}=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{1}{1-p} & \mbox{ si }& p<1\\+\infty & \mbox{ si }& p\ge 1.\end{matrix}\right.$$
  3. La función integrando es continua en $[0,3]$ salvo en $x=1$ que tiene un punto de discontinuidad infinita. Entonces, $$\int_0^{3}\frac{dx}{(x-1)^2}=\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_0^{1-\epsilon}\frac{dx}{(x-1)^2}+\lim_{\delta\to 0^+}\int_{1+\delta}^{3}\frac{dx}{(x-1)^2}$$ $$=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left[-\frac{1}{x-1}\right]_{0}^{1-\epsilon}+\lim_{\epsilon\to 0^+}\left[-\frac{1}{x-1}\right]_{1+\delta}^{3}$$ $$=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left(-1+\frac{1}{\epsilon}\right)+\lim_{\delta\to 0^+}\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{\delta}\right)=(+\infty)+(+\infty)=+\infty.$$ La integral dada es divergente.
  4. La función integrando es continua salvo en $x=1,$ que tiene un punto de discontinuidad infinita. Entonces, $$\int _0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\epsilon\to 0^+}\int _{0}^{1-\epsilon}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left[\text{arcsen }x\right]_{0}^{1-\epsilon}$$ $$=\text{arcsen }(1-\epsilon)-\text{arcsen }0=(\text{arcsen }1)-0=\frac{\pi}{2}.$$ La integral es convergente.
  5. La función integrando es continua en $(0,1/2].$ Analicemos su comportamiento cuando $x\to 0^+.$ Usando la regla de L’Hôpital, $$\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x\log x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{\log x}=\left\{\frac{+\infty}{-\infty}\right\}$$ $$=\lim_{x\to 0^+}\frac{-1/x^2}{1/x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{-1}{x}=-\infty.$$ Entonces, $$\int_0^{1/2}\frac{dx}{x\log x}=\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{\epsilon}^{1/2}\frac{dx}{x\log x}=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left[\log\left|\log x\right|\right]_{\epsilon}^{1/2}$$ $$=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left(\log (\log 1/2)-\log\left|\log \epsilon\right| \right)=\log (\log 1/2)-(+\infty)=-\infty.$$ La integral es divergente.
  6. Recordemos el siguiente teorema:
    TEOREMA. Sea $f\geq 0$ continua (o continua a trozos) en $[a,b]$ salvo en $c\in [a,b]$ que presenta un punto de discontinuidad infinita. Supongamos que existe $p\in\mathbb{R}$ tal que $$L=\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{\dfrac{1}{\left|x-c\right|^p}}\ne 0 \text{ y finito.}$$ Entonces, $\int_a^{b}f(x)\;dx$ es convergente si, y sólo si $p<1.$

    La función $f(x)=1/\log x$ es positiva y continua en $(1,2]$ y presenta en $x=1$ un punto de discontinuidad infinita. Eligiendo $p=1$ tenemos $$L=\lim_{x\to 1}\dfrac{\dfrac{1}{\log x}}{\dfrac{1}{\left|x-1\right|}}=\lim_{x\to 1}\dfrac{\dfrac{1}{\log x}}{\dfrac{1}{x-1}}=\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{\log x}$$ $$=\left\{\frac{0}{0}\right\}\underbrace{=}_{\text{ L’Hôpital}}\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{1/x}=1\neq 0.$$ La integral es divergente.

  7. La función integrando es positiva y continua en $[0,1)$ y presenta en $x=1$ un punto de discontinuidad infinita. Podemos escribir $$\frac{\cos^2 x}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\frac{\cos^2 x}{\sqrt[3]{1+x}}\cdot\frac{1}{(1-x)^{1/3}}.$$ Entonces, $$L=\lim_{x\to 1}\frac{\dfrac{\cos^2 x}{\sqrt[3]{1-x^2}}}{\dfrac{1}{(1-x)^{1/3}}}=\lim_{x\to 1}\frac{\cos^2 x}{\sqrt[3]{1+x}}=\frac{\cos^2 1}{\sqrt[3]{2}}\neq 0.$$ Dado que $p=1/3<1,$ la integral dada es convergente.
  8. La función integrando es continua y positiva en $(0,1].$ Analicemos su comportamiento cuando $x\to 0^+.$ Se verifica $$\log \left(1+\sqrt[3]{x}\right)\sim\sqrt[3]{x}\quad (x\to 0^+) $$ pues $$\lim_{y\to 0^+}\frac{\log (1+y)}{y}=\left\{\frac{0}{0}\right\}\underbrace{=}_{\text{L’Hôpital}}\lim_{y\to 0^+}\frac{\frac{1}{1+y}}{1}=1.$$ Por otra parte $$e^{\operatorname{sen}x}-1\sim \operatorname{sen}x,\quad (x\to 0^+)$$ pues $$\lim_{y\to 0^+}\frac{e^y-1}{y}=\left\{\frac{0}{0}\right\}\underbrace{=}_{\text{L’Hôpital}}\lim_{y\to 0^+}\frac{e^t}{1}=1.$$ En consecuencia $$\frac{\log \left(1+\sqrt[3]{x}\right)}{e^{\operatorname{sen}x}-1}\underbrace{\sim}_{x\to 0^+}\frac{\sqrt[3]{x}}{\operatorname{sen}x}\underbrace{\sim}_{x\to 0^+}\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{x^{2/3}},$$ con lo cual la función integrando tiene un punto de discontinuidad infinita en $x=0$ y $$\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{\log \left(1+\sqrt[3]{x}\right)}{e^{\operatorname{sen}x}-1}:\frac{1}{x^{2/3}}\right)=1\neq 0.$$ Como $p=2/3<1,$ la integral dada es convergente.
  9. La función integrando es continua en $(0,1]$ y tiene un punto de discontinuidad infinita en $x=0.$ Por otra parte, $$\left|\frac{\cos \frac{1}{x}}{\sqrt[3]{x}}\right|\leq \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\text{ en }(0,1].$$ Como $$\int_0^1\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx=\int_0^1\frac{1}{x^{1/3}}dx$$ es convergente $(p=1/3<1),$ la integral dada es absolutamente convergente y por tanto, convergente.
  10. Denominemos $g(x)=\sqrt[\text{E}(x)]{\left|x-3\right|}.$ Entonces, $$x\in [2,3)\Rightarrow \left|x-3\right|=3-x,\;\text{E}(x)=2\Rightarrow g(x)=\sqrt{3-x},$$ $$x\in [3,4)\Rightarrow \left|x-3\right|=x-3,\;\text{E}(x)=3\Rightarrow g(x)=\sqrt[3]{x-3},$$ $$ g(4)=\sqrt[4]{1}=1.$$ Podemos por tanto escribir $$g(x)=\left \{ \begin{matrix} \sqrt{3-x} & \mbox{ si }& x\in[2,3)\\\sqrt[3]{x-3} & \mbox{ si }& x\in [3,4].\end{matrix}\right.$$ La función integrando es continua en $[2,4]$ salvo en $x=3$ que tiene un punto de discontinuidad infinita. Entonces, $$\int_2^4\frac{1}{\sqrt[\text{E}(x)]{\left|x-3\right|}}dx=\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_2^{3-\epsilon}\frac{dx}{\sqrt{3-x}}+\lim_{\delta\to 0^+}\int_{3+\delta}^{4}\frac{dx}{\sqrt[3]{x-3}}$$ $$=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left[-2\sqrt{3-x}\right]_{2}^{3-\epsilon}+\lim_{\delta\to 0^+}\left[\frac{3}{2}\sqrt[3]{(x-3)^2}\right]_{3+\delta}^{4}$$ $$\lim_{\epsilon\to 0^+}(-2\sqrt{\epsilon}+2)+\lim_{\delta\to 0^+}\frac{3}{2}(\sqrt[3]{1}-\sqrt[3]{\delta^2})=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}.$$
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