Normas $p$

Estudiamos las normas $p$ en $\mathbb{K}^n.$

    Enunciado
  1. Sea $p$ real con $1\leq p<+\infty.$ Demostrar que es una norma en $\mathbb{K}^n$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$): $$\left\|x\right\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^n\left|x_k\right|^p\right)^{1/p},\quad x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{K}^n.$$
  2. Demostrar que para $0<p<1,$ la aplicación $$\left\|{x}\right\|_p=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n{\left |{x_i}\right |^{p}}\right)^{1/p},\quad x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{K}^n$$ no es una norma en $\mathbb{K}^n.$
    Solución
  1. $i)$ Sea $x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{K}^n.$ Entonces, $$\left\|x\right\|_{p}=0\Leftrightarrow \left(\sum_{k=1}^n\left|x_k\right|^p\right)^{1/p}=0 \Leftrightarrow \sum_{k=1}^n\left|x_k\right|^p=0 $$ $$\Leftrightarrow \left|x_k\right|^p=0\;\forall k=1,\ldots n \Leftrightarrow x_k=0\;\forall k=1,\ldots n\Leftrightarrow x=0.$$ $ii)$ Para todo $\lambda\in\mathbb{K}$ y para todo $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{K}^n,$ $$\left\|\lambda x\right\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^n\left|\lambda x_k\right|^p\right)^{1/p}=\left(\sum_{k=1}^n\left|\lambda\right|^p\left| x_k\right|^p\right)^{1/p}=\left(\left|\lambda\right|^p\sum_{k=1}^n\left| x_k\right|^p\right)^{1/p}$$ $$=\left|\lambda\right|\left(\sum_{k=1}^n\left|x_k\right|^p\right)^{1/p}=\left|\lambda\right|\left\|\lambda x\right\|_{p}.$$ $iii)$ Para todo $x=(x_1,\ldots,x_n),y=(y_1,\ldots,y_n)\in \mathbb{K}^n$ $$\left\|x+y\right\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^n\left(\left|x_k\right|+\left|y_k\right|\right)^p\right)^{1/p}\underbrace{\leq}_{\text{Desig. Minkowski}}$$ $$\left(\sum_{k=1}^n\left|x_k\right|^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{k=1}^n\left|y_k\right|^p\right)^{1/p}=\left\|x\right\|_{p}+\left\|y\right\|_{p}.$$
  2. Elijamos $x=(1,0,0,\ldots,0),$ $y=(0,1,0,\ldots,0).$ Entonces, $$\left\|{x+y}\right\|_p=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n{\left |{x_i+y_i}\right |^{p}}\right)^{1/p}=2^{1/p}>2$$ $$=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n{\left |{x_i}\right |^{p}}\right)^{1/p}+\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n{\left |{y_i}\right |^{p}}\right)^{1/p}= \left\|{x}\right\|_p+ \left\|{y}\right\|_p$$ es decir, no se cumple la desigualdad triangular.
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