Cardinal de la unión de tres conjuntos

Proporcionamos un ejercicio sobre la fórmula para el cardinal de la unión de tres conjuntos con un ejemplo de aplicación.
(Para una generalización, ver Cardinal de la unión de $n$ conjuntos).

    Enunciado
  1. Sea $M$ un conjunto finito (es decir, con un número finito de elementos). Se denota por $\mbox{card }M$, por $\#(M)$ o bien por $|A|$ al cardinal de $M$. Sean ahora $A,B,C$ tres conjuntos finitos. Demostrar las fórmulas:
    $(a)\;|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.
    $(b)\;|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C| \\ +|A\cap B\cap C|.$
  2. Aplicación: usando la fórmula del cardinal de la unión de tres conjuntos, calcular cuantos números naturales menores o iguales que $1000$ existen que no sean múltiplos no de $3$, ni de $5,$ ni de $7.$
    Solución
  1. $(a)$ Si escribimos $|A|+|B|$ estamos contando dos veces cada elemento de $A\cap B$, en consecuencia $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.
    $(b)$ Usando las propiedad asociativa de la unión, el apartado $(a)$ y la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión: $$|A\cup B\cup C|=|(A\cup B)\cup C|=|A\cup B|+|C|-|A\cup B)\cap C|\\
    =|A|+|B|-|A\cap B|+|C|-|(A\cap C)\cup (B\cap C)|.\qquad (1)$$ Usando el apartado $(a)$ y las propiedades asociativa e idempotente de la intersección: $$|(A\cap C)\cup (B\cap C)|=|A\cap C|+|B\cap C|-|(A\cap C)\cap (B\cap C)|\\
    =|A\cap C|+|B\cap C|-|A\cap B\cap C|.\qquad (2)$$ Usando $(1)$ y $(2)$ queda:
    $$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|.$$
  2. Llamemos $A_3,$ $A_5$ y $A_7$ los conjuntos de los múltiplos de $3,$ $5$ y $7$ respectivamente y que son menores o iguales que $1000.$ Entonces, $A_3\cap A_5,$ $A_3\cap A_5,$  $A_5\cap A_7,$ y $A_3\cap A_5\cap A_7$ son respectivamente los conjuntos cuyos elementos son los múltiplos de $15,$ $21,$ $35$ y $105$ respectivamente y que son menores o iguales que $1000.$ Tenemos: $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 1000=3\cdot 333+1\\&  1000=5\cdot 200 \\& 1000=7\cdot 142+6\end{aligned}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \left|A_3\right|=333\\& \left|A_5\right|=200\\ & \left|A_7\right|=142, \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 1000=15\cdot 66+10\\&  1000=21\cdot 47+13 \\& 1000=35\cdot 28+20\end{aligned}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \left|A_3\cap A_5\right|=66\\& \left|A_5\cap A_7\right|=47\\ & \left|A_5\cap A_7\right|=28, \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$1000=105\cdot 9+55\Rightarrow \left|A_3\cap A_5\cap A_7\right|=9.$$ Aplicando la fórmula del cardinal de la unión de tres conjuntos $$\left|A_3\cup A_5\cup A_7\right|=333+200+142-66-47-28+9=543.$$ El conjunto $A_3\cup A_5\cup A_7$ está formado por los múltiplos de $3,$ o de $5,$ o de $7$ y que son menores o iguales que $1000.$ Nos piden por tanto el cardinal de $\left(A_3\cup A_5\cup A_7\right)^c.$ Entonces, $$\left|\left(A_3\cup A_5\cup A_7\right)^c\right|=1000-543=457$$ es el cardinal de los números naturales menores o iguales que $1000$ existen que no son múltiplos ni de $3$, ni de $5,$ ni de $7.$
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