Cardinal de la unión de tres conjuntos

Proporcionamos un ejercicio sobre la fórmula para el cardinal de la unión de tres conjuntos con un ejemplo de aplicación.

Enunciado
Sea $M$ un conjunto finito (es decir, con un número finito de elementos). Se denota por $\mbox{card }M$, por $\#(M)$ o bien por $|A|$ al cardinal de $M$. Sean ahora $A,B,C$ tres conjuntos finitos.
1.  Demostrar las fórmulas:
$(a)\;|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.
$(b)\;|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C| \\ +|A\cap B\cap C|.$
2.  Aplicación: usando la fórmula del cardinal de la unión de tres conjuntos, calcular cuantos números naturales menores o iguales que $1000$ existen que no sean múltiplos no de $3$, ni de $5,$ ni de $7.$

Solución
1.  $(a)$ Si escribimos $|A|+|B|$ estamos contando dos veces cada elemento de $A\cap B$, en consecuencia $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

$(b)$ Usando las propiedad asociativa de la unión, el apartado $(a)$ y la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión: $$|A\cup B\cup C|=|(A\cup B)\cup C|=|A\cup B|+|C|-|A\cup B)\cap C|\\
=|A|+|B|-|A\cap B|+|C|-|(A\cap C)\cup (B\cap C)|.\qquad (1)$$
Usando el apartado $(a)$ y las propiedades asociativa e idempotente de la intersección: $$|(A\cap C)\cup (B\cap C)|=|A\cap C|+|B\cap C|-|(A\cap C)\cap (B\cap C)|\\
=|A\cap C|+|B\cap C|-|A\cap B\cap C|.\qquad (2)$$ Usando $(1)$ y $(2)$ queda:
$$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|.$$ 2.  Llamemos $A_3,$ $A_5$ y $A_7$ los conjuntos de los múltiplos de $3,$ $5$ y $7$ respectivamente y que son menores o iguales que $1000.$ Entonces, $A_3\cap A_5,$ $A_3\cap A_5,$  $A_5\cap A_7,$ y $A_3\cap A_5\cap A_7$ son respectivamente los conjuntos cuyos elementos son los múltiplos de $15,$ $21,$ $35$ y $105$ respectivamente y que son menores o iguales que $1000.$ Tenemos: $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 1000=3\cdot 333+1\\&  1000=5\cdot 200 \\& 1000=7\cdot 142+6\end{aligned}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \left|A_3\right|=333\\& \left|A_5\right|=200\\ & \left|A_7\right|=142, \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 1000=15\cdot 66+10\\&  1000=21\cdot 47+13 \\& 1000=35\cdot 28+20\end{aligned}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \left|A_3\cap A_5\right|=66\\& \left|A_5\cap A_7\right|=47\\ & \left|A_5\cap A_7\right|=28, \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$1000=105\cdot 9+55\Rightarrow \left|A_3\cap A_5\cap A_7\right|=9.$$ Aplicando la fórmula del cardinal de la unión de tres conjuntos $$\left|A_3\cup A_5\cup A_7\right|=333+200+142-66-47-28+9=543.$$ El conjunto $A_3\cup A_5\cup A_7$ está formado por los múltiplos de $3,$ o de $5,$ o de $7$ y que son menores o iguales que $1000.$ Nos piden por tanto el cardinal de $\left(A_3\cup A_5\cup A_7\right)^c.$ Entonces, $$\left|\left(A_3\cup A_5\cup A_7\right)^c\right|=1000-543=457$$ es el cardinal de los números naturales menores o iguales que $1000$ existen que no son múltiplos ni de $3$, ni de $5,$ ni de $7.$

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