Simplificaciones en las partes de un conjunto

Proporcionamos ejercicios de simplificaciones en el conjunto des las partes de un conjunto.

Enunciado
1. Siendo $A,B,C$ subconjuntos de un conjunto universal $U,$ determinar el complementario del conjunto $(A\cup B^c\cup C^c)\cap (A\cup B\cup C^c).$
2. Demostrar que $(A\cap B)\cup (A^c\cap B)\cup (A\cap B^c)\cup (A^c\cap B^c)$ es el conjunto universal.
3. Simplificar la expresión $[(A\cap B)\cap C]\cup [(A\cap B)\cap C^c]\cup (A^c\cap B).$

Solución
1. Llamemos $D$ al conjunto dado. Usando reiteradamente las leyes de Morgan y la propiedad $(M^c)^c=M:$ $$D^c=(A\cup B^c\cup C^c)^c\cup (A\cup B\cup C^c)^c=(A^c\cap B\cap C)\cup (A^c\cap B^c\cap C).$$ Reagrupando y usando la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión: $$D^c=\left [(A^c\cap C)\cap B\right ]\cup\left [(A^c\cap C)\cap B^c\right ]$$ $$=
(A^c\cap C)\cap (B\cup B^c)=(A^c\cap C)\cap U=A^c\cap C.$$ 2. Llamemos $C$ al conjunto dado. Por la propiedad asociativa de la unión: $$C=\left[(A\cap B)\cup (A^c\cap B)\right]\cup \left[(A\cap B^c)\cup (A^c\cap B^c)\right].$$ Aplicando la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión: $$C=\left[(A\cup A^c)\cap B\right]\cup \left[(A\cup A^c)\cap B^c\right].$$ Por último, llamando $U$ al conjunto universal, y aplicando conocidas propiedades del complementario: $$C=\left(U\cap B\right)\cup \left(U\cap B^c\right)=B\cup B^c=U.$$ 3. Llamemos $D$ al conjunto dado y $U$ al universal. Aplicando la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión: $$[(A\cap B)\cap C]\cup [(A\cap B)\cap C^c]$$ $$=
(A\cap B)\cap (C\cup C^c)=(A\cap B)\cap U=A\cap B.$$ Es decir, $D=(A\cap B)\cup (A^c\cap B)$. Usando de nuevo la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión: $$D=(A\cup A^c)\cap B=U\cap B=B.$$

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