Factorización canónica de la función seno

Proponemos como ejemplo de factorización canónica, a la función seno.

Enunciado
Efectuar la factorización canónica de la aplicación $\;f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$  $\;f(x)=\text{sen }x.$

Solución
La relación de equivalencia $\sim$ asociada a la aplicación  $f$ es $s\sim t$ $\Leftrightarrow$ $f(s)=f(t),$ o bien $s\sim t$ $\Leftrightarrow$ $\text{sen }s=\text{sen }t.$ Determinemos $\mathbb{R}/\sim.$ Una clase genérica es: $$[x]=\{s\in\mathbb{R}:s\sim x\}=\{s\in\mathbb{R}:f(s)=f(x)\}=\{s\in\mathbb{R}:\text{sen }s=\text{sen }x\}.$$ Observemos que existe un único valor $v_x$ en el intervalo $[-\pi/2,\pi/2]$ de forma que $\text{sen }x=\text{sen }v_x.$ Es decir, la clase de equivalencia $[x]$ viene determinada por el número $v_x,$ lo cual permite identificar $\mathbb{R}/\sim$ con $[-\pi/2,\pi/2].$ Por otra parte, $\text{Im }f=[-1,1].$ La factorización canónica de  $f$ es por tanto $$\begin{matrix}\mathbb{R}\xrightarrow{\;\;\;\;\;f\;\;\;\;\;}\mathbb{R}\\n\downarrow{\;\;\;\;\;}\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow{} i\\ [-\pi/2,\pi/2]\xrightarrow{\;\;g\;\;}[-1,1]\end{matrix}\qquad \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & n(x)=v_x\\& g\left(v_x\right)=\text{sen }v_x\\& i(y)=y. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Comprobemos que se verifica  $f=i\circ g\circ n.$ En efecto, para todo $x\in\mathbb{R},$ $$(i\circ g\circ n)(x)=(i\circ g)(v_x)=i(\text{sen }v_x)=\text{sen }v_x=\text{sen }x=f(x).$$

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