Números y polinomios de Bernoulli

En construcción.

En este problema estudiamos los  números y polinomios de Bernoulli.

Enunciado

1.  Se considera una sucesión de números reales $B_n$ llamados números de Bernoulli definidos de la forma $$B_0=1\quad \text{ y } \quad \sum_{i=0}^{i}(-1)^n\binom{n+1}{i}B_i=0\quad \text{ para }n\ge 1.$$ Calcular $B_i$ para $i=1,\ldots,7.$ Demostrar que $B_n$ es racional para todo $n.$

Solución.  1. Usando la relación de recurrencia dada, obtenemos $$\begin{aligned}&B_0=1,\quad B_1=\frac{1}{2},\quad B_2=\frac{1}{6},\quad B_3=0,\\&B_4=-\frac{1}{30},\quad B_5=0,\quad B_6=\frac{1}{42},\quad B_7=0.\end{aligned}$$

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