Aplicación involutiva

Estudiamos en qué casos una aplicación afín es involutiva.

Enunciado
Sea $A$ un conjunto. Se dice que la aplicación $f:A\to A$ es involutiva si, y sólo si  $f\circ f=I_A.$ Determinar los valores de $a$ y $b$ reales para que la aplicación $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=ax+b$$ sea involutiva.

Solución
Tenemos las equivalencias $$f\text{ involutiva}\Leftrightarrow f\circ f=I_{\mathbb{R}}\Leftrightarrow (f\circ f)(x)=I_{\mathbb{R}}(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}$$ $$\Leftrightarrow (f\circ f)(x)=I_{\mathbb{R}}(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow f[ f(x)]=x\quad\forall x\in\mathbb{R}$$ $$\Leftrightarrow f[ax+b]=x\quad\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow a(ax+b)+b=x\quad\forall x\in\mathbb{R}$$ $$\Leftrightarrow (a^2-1)x+b(a+1)=0\quad\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & a^2=1\\& b(a+1)=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Resolviendo obtenemos $(a=-1)\vee (a=1\wedge b=0).$

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