Relación de equivalencia en R[x]

Estudiamos una relación de equivalencia en $\mathbb{R}[x]$ y determinamos su conjunto cociente.

Enunciado
Sea $\mathbb{R}[x]$ el conjunto de los polinomios $p(x)$ en la indeterminada $x$ y con coeficientes reales. En $\mathbb{R}[x]$ se define la relación: $$p_1(x)Rp_2(x)\Leftrightarrow \exists q(x)\in \mathbb{R}[x]:p_2(x)-p_1(x)=q(x)(x^2+1).$$ $(a)$ Demostrar que $R$ es relación de equivalencia.
$(b)$ Demostrar que cada clase admite un representante de grado $<2$.
$(c)$ Encontrar dicho representante para la clase definida por el polinomio $p(x)=x^3+x^2+3x+4$.
$(d)$ Determinar el conjunto cociente $\mathbb{R}[x]/R$.

Solución
$(a)$ Reflexiva. Para todo $p(x)\in \mathbb{R}[x]$ se verifica $p(x)-p(x)=0=0(x^2+1),$ por tanto $p(x)Rp(x)$.

Simétrica. Para todo $p_1(x),p_2(x)\in \mathbb{R}[x]$ se verifica: $$p_1(x)Rp_2(x)\Leftrightarrow \exists q(x)\in \mathbb{R}[x]:p_2(x)-p_1(x)=q(x)(x^2+1)\\
\Rightarrow p_1(x)-p_2(x)=(-q(x))(x^2+1)\Rightarrow p_2(x)Rp_1(x).$$ Transitiva. Para todo $p_1(x),p_2(x),p_3(x)\in \mathbb{R}[x]:$ $$\left \{ \begin{matrix}p_1(x)Rp_2(x)\\p_2(x)Rp_3(x)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}\exists q(x)\in \mathbb{R}[x]:p_2(x)-p_1(x)=q(x)(x^2+1)\\\exists h(x)\in \mathbb{R}[x]:p_3(x)-p_2(x)=h(x)(x^2+1)\end{matrix}\right.\\
\Rightarrow\text{ (sumado) } p_3(x)-p_1(x)=(q(x)+h(x))(x^2+1).$$ Como $q(x)+h(x)\in \mathbb{R}[x]$, se verifica $p_1(x)Rp_3(x)$.

$(b)$ Sea $p(x)\in\mathbb{R}[x]$, efectuando la división euclídea de $p(x)$ entre $x^2+1$ obtenemos un cociente $q(x)$ y un resto $r(x)$ de grado $<2$. Es decir: $$p(x)=q(x)(x^2+1)+r(x)\;,\quad \text{grad }r(x)<2.$$ Ahora bien, $p(x)-r(x)=q(x)(x^2+1)$, lo cual implica $p(x)Rr(x)$. Esto demuestra que cada clase admite un representante de grado $<2$.

$(c)$ Efectuando la división euclídea de $p(x)=x^3+x^2+3x+4$ entre $x^2+1$, obtenemos inmediatamente el resto $r(x)=2x+3$. Por tanto: $$C[x^3+x^2+3x+4]=C[2x+3].$$ $(d)$ Toda clase de equivalencia tiene un representante de grado $<2$. Además, si dos polinomios $r_1(x)$ y $r_2(x)$ de grados $<2$ están relacionados, estos han de coincidir. En efecto, $r_1(x)Rr_2(x)$ quiere decir que $$r_2(x)-r_1(x)=q(x)\text{ para algún }q(x)\in \mathbb{R}[x].\quad (*)$$ Dado que $r_2(x)-r_1(x)$ es de grado $<2$, ha de ser $q(x)=0$ para que se verifique la igualdad $(*)$, y como consecuencia $r_1(x)=r_2(x)$. Concluimos que el conjunto cociente es: $$\mathbb{R}[x]/R=\{C[ax+b]:a,b\in\mathbb{R}\},$$ y el representante de cada clase con grado $<2$ es único.

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