Grupo de las partes con la diferencia simétrica

Demostramos que el conjunto de las partes de un conjunto es grupo con la operación diferencia simétrica.

Enunciado
Sea $U$ un conjunto. Demostrar que $(\mathcal{P}(U),\Delta)$ es un grupo conmutativo, en donde $\Delta$ representa la operación diferencia simétrica de conjuntos.

Solución
Interna. Para todo $A,B$ elementos de $\mathcal{P}(U)$ se verifica $$A\Delta B=(A-B)\cup (B-A)\in \mathcal{P}(U).$$ Asociativa. Ver Propiedad asociativa de la diferencia simétrica.

Conmutativa. Para todo $A,B$ elementos de $\mathcal{P}(U)$ se verifica: $$A\Delta B=(A-B)\cup (B-A)=(B-A)\cup (A-B)=B\Delta A.$$ Elemento neutro. Para todo elemento $A$ de $\mathcal{P}(U)$ se verifica: $$A\Delta \emptyset=(A-\emptyset)\cup (\emptyset-A)=A\cup \emptyset=A,$$ por tanto $\emptyset$ es elemento neutro.

Elemento simétrico. Para todo elemento $A$ de $\mathcal{P}(U)$ se verifica: $$A\Delta A=(A-A)\cup (A-A)=\emptyset\cup \emptyset=\emptyset.$$ Es decir, todo elemento $A$ de $\mathcal{P}(U)$ tiene simétrico, siendo este el propio $A.$ Concluimos que $(\mathcal{P}(U),\Delta)$ es un grupo conmutativo.

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