Ecuaciones y sistemas matriciales

Proporcionamos ejercicios sobre ecuaciones y sistemas matriciales.

    Enunciado
  1. Sean $A,B$ dos matrices cuadradas de orden $n,$ con $A$ invertible. Resolver la ecuación $AX=B.$ Como aplicación, calcular $X$ tal que: $$\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{2}&{1}&{0}\\{3}&{1}&{0}\end{bmatrix}\;X=\begin{bmatrix}{6}&{4}&{2}\\{7}&{6}&{5}\\{10}&{8}&{6}\end{bmatrix}\;.$$
  2. Sean $A,B$ dos matrices cuadradas de orden $n,$ con $A$ invertible. Resolver la ecuación $XA=B.$ Como aplicación, calcular $X$ tal que: $$X\begin{bmatrix}{3}&{2}\\{2}&{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{11}&{22}\\{6}&{4}\end{bmatrix}.$$
  3. Sean $A,B, C$ tres matrices cuadradas de orden $n,$ con $A,B$ invertibles. Resolver la ecuación $AXB=C.$ Como aplicación, calcular $X$ tal que:$$\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{2}&{5}\end{bmatrix}\;X\;\begin{bmatrix}{2}&{3}\\{1}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{5}&{7}\\{12}&{17}\end{bmatrix}\;.$$
  4. Resolver el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix} 2x_1-x_2-x_3=4 \\3x_1+4x_2-2x_3=11 \\3x_1-2x_2+4x_3=11, \end{matrix}\right.$$ usando el concepto de matriz inversa.
  5. Resolver la ecuación matricial $\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{-1}&{1}\end{bmatrix}X=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{1}&{-1}\end{bmatrix}\;.$
  6. Resolver la ecuación $AX=B,$ con $A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{-4}&{2}\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}.$
  7. Resolver el sistema de ecuaciones matriciales $$\left \{ \begin{matrix} AX-BY=0 \\BX+AY=C,\end{matrix}\right.$$ donde $A= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix},$ $B= \begin{bmatrix}1 & 4 \\ 1 & 5 \end{bmatrix},$ $C= \begin{bmatrix}2 & -1 \\ 2 & -2\end{bmatrix},$ $0= \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.$
  8. Sean $A\in{}M_m(\mathbb{R})$ y $B\in M_n(\mathbb{R})$ matrices invertibles y sea $C\in{}M_{m\times{}n}(\mathbb{R})$.
    $a)$ Obtener las matrices $X,Y,Z$ en función de $A,B,C$ de manera que se satisfaga la ecuación matricial: $$\begin{bmatrix}{A}&{C}\\{O}&{B}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{X}&{Z}\\{O}&{Y}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{I_m}&{O}\\{O}&{I_n}\end{bmatrix}.$$ $b)$ Usar el resultado del apartado anterior, calcular la inversa de la matriz: $$N=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{-1}&{1}\\{0}&{1}&{1}&{-1}\\{0}&{0}&{-1}&{1}\\{0}&{0}&{1}&{1}\end{bmatrix}.$$
    Solución
  1. Tenemos las equivalencias:$$AX=B\Leftrightarrow A^{-1}(AX)=A^{-1}B\Leftrightarrow (A^{-1}A)X=A^{-1}B$$ $$\Leftrightarrow IX=A^{-1}B\Leftrightarrow X=A^{-1}B.$$ La única solución de la ecuación $AX=B$ es por tanto la matriz cuadrada de orden $n,$ $X=A^{-1}B.$ Para la ecuación concreta dada, y teniendo en cuenta que la matriz de la izquierda es invertible: $$X=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{2}&{1}&{0}\\{3}&{1}&{0}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}{6}&{4}&{2}\\{7}&{6}&{5}\\{10}&{8}&{6}\end{bmatrix}=\ldots=\begin{bmatrix}{3}&{2}&{1}\\{1}&{2}&{3}\\{3}&{2}&{1}\end{bmatrix}.$$
  2. Tenemos las equivalencias: $$XA=B\Leftrightarrow (XA)A^{-1}=BA^{-1}\Leftrightarrow X(AA^{-1})=BA^{-1}$$ $$\Leftrightarrow XI=BA^{-1}\Leftrightarrow X=BA^{-1}.$$ La única solución de la ecuación $AX=B$ es por tanto la matriz cuadrada de orden $n,$ $X=BA^{-1}.$ Para la ecuación concreta dada, y teniendo en cuenta que el coeficiente de $X$ es una matriz invertible: $$X=\begin{bmatrix}{11}&{22}\\{6}&{4}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{3}&{2}\\{2}&{5}\end{bmatrix}^{-1}=\ldots=\begin{bmatrix}{1}&{4}\\{2}&{0}\end{bmatrix}.$$
  3. Tenemos las equivalencias: $$AXB=C\Leftrightarrow A^{-1}(AXB)B^{-1}=A^{-1}CB^{-1}$$ $$\Leftrightarrow (A^{-1}A)X(BB^{-1})=A^{-1}CB^{-1}\Leftrightarrow IXI=A^{-1}CB^{-1}\Leftrightarrow X=A^{-1}CB^{-1}.$$ La única solución de la ecuación $AXB=C$ es por tanto la matriz cuadrada de orden $n,$ $X=A^{-1}CB^{-1}.$ Para la ecuación concreta dada, y teniendo en cuenta que las matrices que multiplican a $X$ por la izquierda y derecha son invertibles: $$X=\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{2}&{5}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}{5}&{7}\\{12}&{17}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{3}\\{1}&{1}\end{bmatrix}^{-1}=\ldots=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}.$$
  4. El sistema se puede escribir en la forma $$Ax=b, \text{ con }A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{-1}\\{3}&{4}&{-2}\\{3}&{-2}&{4}\end{bmatrix}\;,\;x=\begin{bmatrix}x_1\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}\;,\;b=\begin{bmatrix}4\\{11}\\{11}\end{bmatrix} .$$ La matriz $A$ es invertible, como fácilmente se comprueba. Entonces, $$Ax=b\Leftrightarrow A^{-1}(Ax)=A^{-1}b\Leftrightarrow (A^{-1}A)x=A^{-1}b\Leftrightarrow Ix=A^{-1}b\Leftrightarrow x=A^{-1}b.$$ Por tanto,$$x=A^{-1}b=\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{-1}\\{3}&{4}&{-2}\\{3}&{-2}&{4}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}4\\{11}\\{11}\end{bmatrix}=\ldots=\begin{bmatrix}3\\{1}\\{1}\end{bmatrix}\;.$$
  5. La matriz coeficiente de $X$ tiene determinante nulo. Determinemos las soluciones de la ecuación dada, planteando un sistema lineal. $$\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{-1}&{1}\end{bmatrix}X=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{1}&{-1}\end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{-1}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}&{x_2}\\{x_3}&{x_4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{1}&{-1}\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1-x_3=-1 \\-x_1+x_3=1\\x_2-x_4=1\\-x_2+x_4=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1-x_3=-1\\x_2-x_4=1. \end{matrix}\right.$$ Llamando $x_3=\alpha,$ $x_4=\beta,$ obtenemos todas las soluciones del sistema anterior: $$x_1=-1+\alpha,\;x_2=1+\beta,\;x_3=\alpha,\;x_4=\beta\quad(\alpha,\beta\in\mathbb{R}).$$ Las soluciones de la ecuación dada son por tanto: $$X=\begin{bmatrix}{-1+\alpha}&{1+\beta}\\{\alpha}&{\beta}\end{bmatrix}\quad(\alpha,\beta\in\mathbb{R}).$$
  6. Se verifica $\det A=0,$ por tanto $A$ no es invertible. Esto implica que no existe matriz $X$ tal que $AX=B=I.$ La ecuación no tiene solución.
  7. Dado que $B$ es invertible, $AX=BY$ equivale a $Y=B^{-1}AX.$ Sustituyendo en la segunda ecuación: $$BX+AB^{-1}AX=C\Leftrightarrow (B+AB^{-1}A)X=C.$$ Operando el coeficiente de $X:$ $$B+AB^{-1}A=\cdots=\begin{bmatrix}2 & 5 \\ 2 & 6 \end{bmatrix},$$ matriz que es invertible. Por tanto, $$X=(B+AB^{-1}A)^{-1}C=\cdots=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$ $$Y=B^{-1}AX=B^{-1}A\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}=\cdots=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$$
  8. $a)$ Tenemos, $$\begin{bmatrix}{A}&{C}\\{O}&{B}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{X}&{Z}\\{O}&{Y}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{I_m}&{O}\\{O}&{I_n}\end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix}{AX}&{AZ+CY}\\{O}&{BY}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{I_m}&{O}\\{O}&{I_n}\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} &A X=I_m\\& AZ+CY=O\\ & BY=I_n, \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=A^{-1}\\& AZ+CY=O\\ & Y=B^{-1}, \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=A^{-1}\\& AZ=-CY\\ & Y=B^{-1}, \end{aligned}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X=A^{-1}\\& Z=-A^{-1}CB^{-1}\\ & Y=B^{-1}. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $b)$ Llamando $$A=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix},\;\; C=\begin{bmatrix}{-1}&{\;\;1}\\{\;\;1}&{-1}\end{bmatrix},\;\; O=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\;\; B=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{\;\;1}&{1}\end{bmatrix},$$ usando los resultados del apartado anterior, y operando: $$N^{-1}=\begin{bmatrix}{A}&{C}\\{O}&{B}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}{A^{-1}}&{-A^{-1}CB^{-1}}\\{O}&{B^{-1}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{-1}&{\;\;0}\\{0}&{1}&{\;\;1}&{\;\;0}\\{0}&{0}&{-1/2}&{\;\;1/2}\\{0}&{0}&{\;\;1/2}&{\;\;1/2}\end{bmatrix}.$$
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