Ecuaciones y sistemas matriciales

Proporcionamos ejercicios sobre ecuaciones y sistemas matriciales.

1 Sean $A,B$ dos matrices cuadradas de orden $n,$ con $A$ invertible. Resolver la ecuación $AX=B.$ Como aplicación, calcular $X$ tal que: $$\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\{2}&{1}&{0}\\{3}&{1}&{0}\end{bmatrix}\;X=\begin{bmatrix}{6}&{4}&{2}\\{7}&{6}&{5}\\{10}&{8}&{6}\end{bmatrix}\;.$$

SOLUCIÓN

2 Sean $A,B$ dos matrices cuadradas de orden $n,$ con $A$ invertible. Resolver la ecuación $XA=B.$ Como aplicación, calcular $X$ tal que: $$X\begin{bmatrix}{3}&{2}\\{2}&{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{11}&{22}\\{6}&{4}\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

3 Sean $A,B, C$ tres matrices cuadradas de orden $n,$ con $A,B$ invertibles. Resolver la ecuación $AXB=C.$ Como aplicación, calcular $X$ tal que:$$\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{2}&{5}\end{bmatrix}\;X\;\begin{bmatrix}{2}&{3}\\{1}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{5}&{7}\\{12}&{17}\end{bmatrix}\;.$$

SOLUCIÓN

4 Resolver el sistema lineal $$\left \{ \begin{matrix} 2x_1-x_2-x_3=4 \\3x_1+4x_2-2x_3=11 \\3x_1-2x_2+4x_3=11, \end{matrix}\right.$$ usando el concepto de matriz inversa.

SOLUCIÓN

5 Resolver la ecuación matricial $\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{-1}&{1}\end{bmatrix}X=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{1}&{-1}\end{bmatrix}\;.$

SOLUCIÓN

6 Resolver la ecuación $AX=B,$ con $A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{-4}&{2}\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}.$

SOLUCIÓN

7 Resolver el sistema de ecuaciones matriciales $$\left \{ \begin{matrix} AX-BY=0 \\BX+AY=C,\end{matrix}\right.$$ donde $A= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix},$ $B= \begin{bmatrix}1 & 4 \\ 1 & 5 \end{bmatrix},$ $C= \begin{bmatrix}2 & -1 \\ 2 & -2\end{bmatrix},$ $0= \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.$

SOLUCIÓN

8 Sean $A\in{}M_m(\mathbb{R})$ y $B\in M_n(\mathbb{R})$ matrices invertibles y sea $C\in{}M_{m\times{}n}(\mathbb{R})$.

$a)$ Obtener las matrices $X,Y,Z$ en función de $A,B,C$ de manera que se satisfaga la ecuación matricial: $$\begin{bmatrix}{A}&{C}\\{O}&{B}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{X}&{Z}\\{O}&{Y}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{I_m}&{O}\\{O}&{I_n}\end{bmatrix}.$$ $b)$ Usar el resultado del apartado anterior, calcular la inversa de la matriz: $$N=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{-1}&{1}\\{0}&{1}&{1}&{-1}\\{0}&{0}&{-1}&{1}\\{0}&{0}&{1}&{1}\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN
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