Diagonalización de un endomorfismo en R_2[x]

Efectuamos la diagonalización de un endomorfismo de $\mathbb{R}_2[x].$

Enunciado
Se considera el endomorfismo $T$ en $\mathbb{R}_2[x]$ definido por$$T\left(p(x)\right)=p(x+1)+(x+1)p’(x+1).$$$1)$ Hallar la matriz $A$ de $T$ en la base canónica de $\mathbb{R}_2[x]$
$2)$ Demostrar que $T$ es diagonalizable.
$3)$ Hallar una base de $\mathbb{R}_2[x]$ que lo diagonaliza y la matriz diagonal $D$ de $T$ en dicha base.
$4)$ Encontrar una matriz $P$ invertible tal que $P^{-1}AP=D.$

Solución
$1)$ Hallemos los transformados de los elementos de la base canónica $B=\{1,x,x^2\}:$ $$T(1)=1+(x+1)\cdot 0=1=1,\\T(x)=(x+1)+(x+1)\cdot 1=2+2x,\\T(x^2)=(x+1)^2+(x+1)\cdot 2(x+1)=3+6x+3x^2.$$Transponiendo, obtenemos la matriz $A$ de $T$ en la base $B:$$$A=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{3}\\{0}&{2}&{6}\\{0}&{0}&{3}\end{bmatrix}.$$$2)$ Valores propios:$$\left|A-\lambda I\right|=\begin{vmatrix}{1-\lambda}&{2}&{3}\\{0}&{2-\lambda}&{6}\\{0}&{0}&{3-\lambda}\end{vmatrix}=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)=0$$$$\Leftrightarrow \lambda=1 \vee \lambda=2\vee \lambda=3\text{ (simples).}$$ El polinomio característico tiene 3 raíces en $\mathbb{R}$ y la dimensión de cada subespacio propio es 1 por ser todos los valores propios simples, por tanto $T$ es diagonalizable.

$3)$ Los subespacios propios y unas respectivas bases (en coordenadas en $B$), son$$V_{1} \equiv \left \{ \begin{matrix} 2x_2+3x_3=0\\ x_2+3x_3=0 \\2x_3=0\end{matrix}\right.,\quad B_{V_1}=\{(1,0,0)\}$$$$V_{2} \equiv \left \{ \begin{matrix} -x_1+2x_2+3x_3=0\\ 6x_3=0 \\x_3=0\end{matrix}\right.,\quad B_{V_2}=\{(2,1,0)\}$$$$V_{3} \equiv \left \{ \begin{matrix} -2x_1+2x_2+3x_3=0\\ -x_2+6x_3=0 \end{matrix}\right.,\quad B_{V_2}=\{(15,12,2)\}$$En consecuencia, una base $B’$ que diagonaliza a $T$ es:$$B’=\{1,\;2+x,\;15+12x+2x^2\},$$y la matriz de $T$ en $B’$ es $D=\operatorname{diag}(1,2,3).$

$4)$ Una matriz $P$ que satisface $P^{-1}AP=D,$ sabemos que es la matriz de cambio de base de la $B$ a la $B’,$ esto es,$$P=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{15}\\{0}&{1}&{12}\\{0}&{0}&{2}\end{bmatrix}.$$

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