Suma y producto de valores propios

Calculamos la suma y el producto de los valores propios de una matriz diagonalizable.

Enunciado
Se considera la matriz real$$A=\begin{bmatrix}{1}&{5}&{6}\\{5}&{0}&{3}\\{6}&{3}&{4}\end{bmatrix}.$$Hallar la suma y el producto de sus valores propios sabiendo que es diagonalizable.

Solución
Por hipótesis, existe $P\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ invertible cumpliendo:$$P^{-1}AP=D, \text{ con } D=\begin{bmatrix}{\lambda_1}&{0}&{0}\\{0}&{\lambda_2}&{0}\\{0}&{0}&{\lambda_3}\end{bmatrix},$$siendo $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ los valores propios de $A$. Como $A$ y $D$ son semejantes tienen, según sabemos, la misma traza y el mismo determinante. Por tanto:$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\text{traza }D=\text{traza }A=5,\\
\lambda_1\lambda_2\lambda_3=\det D=\det A=71.$$

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