Valores propios del endomorfismo inverso

Demostramos que los valores propios del endomorfismo inverso son los inversos de los valores propios.

Enunciado
Sea $\lambda$ un valor propio de un endomorfismo $f:E\to E$ invertible.
$(a)$ Demostrar que $\lambda\neq 0$.
$(b)$ Demostrar que $1/\lambda$ es valor propio de $f^{-1}$.
$(c)$ Aplicación: se considera la matriz $$A=\begin{bmatrix}{2}&{3}\\{3}&{2}\end{bmatrix}.$$Hallar los valores y vectores propios de $A^{-1}$.

Solución
$(a)$ Supongamos que fuera $\lambda=0$. Entonces existiría un $x\in E$ no nulo tal que $f(x)=0x=0$. Es decir $\ker f$ no se reduciría al vector nulo y por tanto $f$ no sería inyectiva. Esto es una contradicción pues $f$ es invertible por hipótesis.

$(b)$ Por hipótesis, existe $x\in E$ no nulo tal que $f(x)=\lambda x$. Aplicando $f^{-1}$ a ambos miembros y teniendo en cuenta que $f^{-1}$ es lineal:$$f(x)=\lambda x\Rightarrow f^{-1}\left(f(x)\right)=f^{-1}\left(\lambda x\right)\Rightarrow (f^{-1}\circ f)(x)=\lambda f^{-1}(x)$\\$
\Rightarrow I(x)=\lambda f^{-1}(x)\Rightarrow x=\lambda f^{-1}(x)\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{1}{\lambda}x.$$Es decir, $1/\lambda$ es valor propio de $f^{-1}$ y además, los correspondientes vectores propios asociados a $\lambda$ para $f$ y $1/\lambda$ para $f^{-1}$ coinciden.

$(c)$ Como $\det A=-5\neq 0$, $A$ representa un endomorfismo invertible en $\mathbb{R}^2$ con respecto de la base canónica, y la matriz del endomorfismo inverso en tal base es justamente $A^{-1}$. Valores propios de $A:$$$\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{3}\\{3}&{2-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-4\lambda-5=0\Leftrightarrow \lambda_1=5\vee \lambda_2=-1\text{ (simples)}.$$Subespacios propios de $A:$$$V_{\lambda_1}\equiv \left \{ \begin{matrix} -3x_1+3x_2=0\\3x_1-3x_2=0,\end{matrix}\right.\qquad V_{\lambda_2}\equiv \left \{ \begin{matrix} 3x_1+3x_2=0\\3x_1+3x_2=0.\end{matrix}\right.$$Unas bases respectivas son $B_{V_{\lambda_1}}=\{(1,1)^t\}$ y $B_{V_{\lambda_2}}=\{(-1,1)^t\}$. Usando el apartado anterior, concluimos que los valores propios de $A^{-1}$ son $$\mu_1=\frac{1}{\lambda_1}=\frac{1}{5},\quad \mu_2=\frac{1}{\lambda_2}=-1,$$y unas bases de los correspondientes subespacios propios son$$B_{V_{\mu_1}}=\{(1,1)^t\},\quad B_{V_{\mu_2}}=\{(-1,1)^t\}.$$

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