Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria

Calculamos dos determinantes de orden $n$ con ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria.

    Enunciado
  1. Calcular el determinante de orden $n$ $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
    0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 1\\
    0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 0\\
    0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    & & & & & & \\
    0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
    1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0
    \end{vmatrix}.$$
  2. Calcular el determinante de orden $n$ $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 & \ldots & n-2 & n-1 & n\\
    2 & 3 & 4 & \ldots & n-1 & n & n\\
    3 & 4 & 5 & \ldots & n & n & n\\
    & & & & & & \\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    & & & & & & \\
    n-1 & n & n & \ldots & n & n & n\\
    n & n & n & \ldots & n & n & n
    \end{vmatrix}.$$
    Solución
  1. Desarrollando por los elementos de la primera columna: $$\Delta_n=
    1\cdot (-1)^{n+1}\begin{vmatrix}
    0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 1\\
    0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 0\\
    0 & 0 & \ldots & 1 & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&\vdots \\
    & & & & & & \\
    1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0
    \end{vmatrix}=(-1)^{n+1}\Delta_{n-1}.$$ Usando la relación anterior sucesivamente y teniendo en cuenta que $\Delta_1=1,$ $$\Delta_n=(-1)^{n+1}\Delta_{n-1}=(-1)^{n+1}(-1)^n\Delta_{n-2}=(-1)^{n+1}(-1)^n(-1)^{n-1}\Delta_{n-3}$$ $$=(-1)^{n+1}(-1)^n(-1)^{n-2}\ldots (-1)^3\Delta_{1}=(-1)^{3+4+\cdots n+(n+1)}.$$ Por la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética: $$3+4+\cdots n+(n+1)=\frac{3+(n+1)}{2}(n-1).$$ Por tanto, $\Delta_n=(-1)^{(n+4)(n-1)/2}.$
  2. Restando a cada fila la anterior:
    $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 &  \ldots & n-2 & n-1 & n\\
    1 & 1 & 1 &  \ldots & 1 & 1 & 0\\
    1 & 1 & 1 &  \ldots & 1 & 0 & 0\\
    &  &  &  &  &  & \\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    &  &  &  &  &  & \\
    1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
    1& 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0
    \end{vmatrix}.$$ Desarrollando por los elementos de la última columna: $$\Delta_n=n(-1)^{1+n}\begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 &  \ldots & 1 & 1 \\
    1 & 1 & 1 &  \ldots & 1 & 0 \\
    &  &  &  &  &  \\
    \vdots&&&&&\vdots \\
    &  &  &  &  &  \\
    1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
    1& 0 & 0 & \ldots & 0 & 0
    \end{vmatrix}.$$ Restando a cada fila la siguiente:
    $$\Delta_n=n(-1)^{1+n}\begin{vmatrix}
    0 & 0 & 0 &  \ldots & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 0 &  \ldots & 1 & 0 \\
    &  &  &  &  &  \\
    \vdots&&&&&\vdots \\
    &  &  &  &  &  \\
    0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
    1& 0 & 0 & \ldots & 0 & 0
    \end{vmatrix}.$$ Aparece el mismo determinante del apartado anterior, pero de orden $n-1,$ por tanto: $$\Delta_n=n(-1)^{n+1}(-1)^{3+4+\cdots n}=(-1)^{(n+4)(n-1)/2}n.$$
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