Determinante de I + v w

Enunciado
Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo, $v\in\mathbb{K}^{n\times 1}$ y $v\in\mathbb{K}^{1\times n}.$ Demostrar que $$\det \left(I_n+vw\right)=1+wv.$$

Solución.  Es fácil verificar la igualdad para matrices de órdenes $n+1,$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ v & I_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -w\\ 0 & I_n + vw \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + v^tw^t & -w\\ 0 & I_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ v & I_n \end{pmatrix}.$$ Tomando determinantes y teniendo en cuenta que $v^tw^t=(wv)^t=wv$ por ser $wv$ de orden $1\times 1:$ $$1\cdot \det\left(I_n+vw\right)=(1+v^tw^t)\cdot 1\Rightarrow \det\left(I_n+vw\right)=1+wv.$$

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