Determinante y sucesión de Fibonacci

Relacionamos un determinante con la sucesión de Fibonacci.

Enunciado
Sea $1,2,3,5,8,13,\ldots$ la sucesión de Fibonacci y consideremos la matriz: $$A_n=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;1}&{0}&{0}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\\{-1}&{\;\;1}&{1}&{0}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\\{\;\;0}&{-1}&{1}&{1}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{0}&{0}&{\ldots}&{-1}&{1}\end{bmatrix}.$$ Probar que $\det A_n$ coincide con el termino enésimo de la sucesión.

Solución
La sucesión de Fibonacci $\{x_n\}$ está determinada por las condiciones $x_1=1,$ $x_2=2$ y $x_n=x_{n-1}+x_{n-2}$ si $n\geq 3.$ Tenemos $$\left |{A_1}\right |=\left |{1}\right |=1,\quad \left |{A_2}\right |=\begin{vmatrix}{\;\;1}&{1}\\{-1}&{1}\end{vmatrix}=2.$$ Por otra parte, desarrollando por los elementos de la primera columna para $n\geq 3,$ obtenemos $$\left |{A_n}\right |=1\cdot \left |{A_{n-1}}\right |+(-1)(-1)\cdot \underbrace{\begin{vmatrix}{\;\;1}&{0}&{0}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\\{-1}&{1}&{1}&{\ldots}&{\;\;0}&{0}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}\\{\;\;0}&{0}&{0}&{\ldots}&{-1}&{1}\end{vmatrix}}_{\text{orden }n-1}$$ $$=\left |{A_{n-1}}\right |+1\cdot\left |{A_{n-2}}\right |=\left |{A_{n-1}}\right |+\left |{A_{n-2}}\right |.$$ Concluimos que $\left\{\left |{A_n}\right |\right\}$ es la sucesión de Fibonacci.

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