Suma directa de las formas bilineales simétricas y antisimétricas

Demostramos que el espacio vectorial $\mathcal{B}(E)$ de las formas bilneales es suma directa de los subespacios de las simétricas y antisimétricas.

Enunciado
Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $\mathcal{B}(E)$ el espacio vectorial de las formas bilineales de $E\times E$ en $\mathbb{K}.$ Demostrar que
$1)\;$ $\mathcal{S}=\{f\in\mathcal{B}(E):f\text{ es simétrica}\}$ es subespacio de $\mathcal{B}(E).$
$2)\;$ $\mathcal{A}=\{f\in\mathcal{B}(E):f\text{ es antisimétrica}\}$ es subespacio de $\mathcal{B}(E).$
$3)\;$ $\text{carac }\mathbb{K}\neq 2\Rightarrow\mathcal{B}(E)=\mathcal{S}\oplus\mathcal{A}.$

Solución
$1)\;$ $(i)$ la forma bilineal nula $0$ satisface $0(y,x)=0(x,y)=0$ para todo $x,y\in E,$ por tanto $0\in \mathcal{S}.$
$(ii)\;$ Sean $f,g\in\mathcal{S}.$ Para todo $x,y\in E:$ $$(f+g)(y,x)=f(y,x)+g(y,x)=f(x,y)+g(x,y)=(f+g)(x,y),$$ lo cual implica que $f+g\in \mathcal{S}.$
$(iii)\;$ Sean $\lambda\in\mathbb{K}$ y $f\in\mathcal{S}.$ Para todo $x,y\in E:$ $$(\lambda f)(y,x)=\lambda f(y,x)=\lambda f(x,y)=(\lambda f)(x,y),$$ lo cual implica que $\lambda f\in \mathcal{S}.$ Concluimos que $\mathcal{S}$ es subespacio de $\mathcal{B}(E).$

$2)\;$ $(i)$ la forma bilineal nula $0$ satisface $0(y,x)=-0(x,y)=0$ para todo $x,y\in E,$ por tanto $0\in \mathcal{A}.$
$(ii)\;$ Sean $f,g\in\mathcal{A}.$ Para todo $x,y\in E:$ $$\begin{aligned}&(f+g)(y,x)=f(y,x)+g(y,x)=-f(x,y)-g(x,y)\\
&=-\left(f(x,y)+g(x,y)\right)=-(f+g)(x,y),\end{aligned}$$ lo cual implica que $f+g\in \mathcal{A}.$
$(iii)\;$ Sean $\lambda\in\mathbb{K}$ y $f\in\mathcal{S}.$ Para todo $x,y\in E:$ $$(\lambda f)(y,x)=\lambda f(y,x)=\lambda \left(-f(x,y)\right)=-\lambda f(x,y)=-(\lambda f)(x,y),$$ lo cual implica que $\lambda f\in \mathcal{A}.$ Concluimos que $\mathcal{A}$ es subespacio de $\mathcal{B}(E).$

$3)\;$ Sen $f\in\mathcal{S}\cap\mathcal{A}.$ Entonces para todo $x,y\in E$ se verifica: $$\begin{aligned}&f(y,x)=f(x,y),\qquad \;\;(1)\\
&f(y,x)=-f(x,y),\qquad (2)\end{aligned}$$ Restando a la igualdad $(1)$ la $(2),$ $$f(x,y)+f(x,y)=(1+1)f(x,y)=0.$$ Como $\text{carac }\mathbb{K}\neq 2,$ $1+1\neq 0$ luego $f(x,y)=0$ todo $x,y\in E,$ es decir $f$ es la forma bilineal nula. Hemos demostrado que $\mathcal{S}\cap\mathcal{A}=\{0\}.$

Sea $f\in \mathcal{B}(E)$ y denotemos a $1+1$ por $2.$ Como $2\neq 0,$ existen las aplicaciones de $E\times E$ en $\mathbb{K}:$ $$\begin{aligned}&f_s(x,y)=\frac{1}{2}\left(f(x,y)+f(y,x)\right),\\
&f_a(x,y)=\frac{1}{2}\left(f(x,y)-f(y,x)\right).\end{aligned}$$ Dado que $\mathcal{B}(E)$ es un espacio vectorial, las aplicaciones anteriores pertenecen a $\mathcal{B}(E).$ Además, es inmediato comprobar que $f_s$ es simétrica, que $f_a$ es antisimétrica y que $f=f_s+f_a.$ Hemos demostrado que $E=\mathcal{S}+\mathcal{A}.$ Concluimos que $E=\mathcal{S}\oplus\mathcal{A}.$

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