Espacio vectorial $\mathbb{K}[x]$

Demostramos que el conjunto de los polinomios con coeficientes en un cuerpo tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones usuales

Enunciado
Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y sea $\mathbb{K}[x]$ el conjunto de los polinomios en la indeterminada $x$ y coeficientes en $\mathbb{K}.$ Se consideran las operaciones suma y ley externa habituales.
1. Demostrar de manera esquemática, que $\mathbb{K}[x]$ es espacio vectorial con las operaciones mencionadas.
   Nota. Casos particulares importantes de este espacio vectorial son $\mathbb{Q}[x],$ $\mathbb{R}[x],$ $\mathbb{C}[x]$ y $(\mathbb{Z}_p)[x]$ ($p$ primo).
2. En el espacio vectorial $\mathbb{R}[x]$ se consideran los vectores $p(x)=3x^2-x+5$ y $q(x)=x^3+x.$ Determinar el vector $r(x)=2p(x)-4q(x).$

Solución
1. La suma de dos elementos de $\mathbb{K}[x],$ claramente pertenece a $\mathbb{K}[x].$ Debido a la asociatividad de la suma en $\mathbb{K},$ se verifica la asociatividad en $\mathbb{K}[x].$  Debido a la conmutatividad de la suma en $\mathbb{K},$ se verifica la conmutatividad en $\mathbb{K}[x].$  El polinomio nulo $0$ de $\mathbb{K}[x],$ verifica $p(x)+0=p(x)$ $\forall p(x)\in\mathbb{K}[x].$ Para toda $p(x)\in\mathbb{K}[x],$ el polinomio $-p(x)\in \mathbb{K}[x]$ verifica $p(x)+(-p(x))=0.$ Es decir, $(\mathbb{K}[x],+)$ es grupo abeliano.
   Considerando la propiedades de los elementos de $\mathbb{K},$ y las definiciones de suma y ley externa relativas a polinomios, podemos verificar $\forall \lambda,\mu \in\mathbb{K}$ y $\forall p(x),q(x)\in\mathbb{K}[x] :$ $$\begin{aligned}&1.\;\lambda\left(p(x)+q(x)\right)=\lambda p(x)+\lambda q(x).\\
   &2.\;(\lambda+\mu )p(x)=\lambda p(x)+\mu p(x).\\
   &3.\;\lambda\left(\mu p(x)\right)=(\lambda \mu)p(x).\\
   &4.\;1p(x)= p(x).\end{aligned}$$
2. Usando las conocidas operaciones en $\mathbb{R}[x]:$ $$\begin{aligned} &r(x)=2p(x)-4q(x)=\left(6x^2-2x+10\right)-\left(4x^3+4x\right)\\
   &=-4x^3+6x^2-6x+10.\end{aligned}$$