Supercuerpo como espacio vectorial

Demostramos que todo supercuerpo puede ser considerado como espacio vectorial.

Enunciado
Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $k\subset \mathbb{K}$ un subcuerpo de $\mathbb{K}.$ Se considera en $\mathbb{K},$ su suma y por otra parte, la operación ley externa $k\times \mathbb{K}\to \mathbb{K},$ $(\lambda,x)\to \lambda x,$ en donde $\lambda x$ representa el producto en $\mathbb{K}.$ Demostrar que $\mathbb{K}$ es espacio vectorial sobre el cuerpo $k,$ con las operaciones dadas.
Nota. Un caso particular se obtiene para $k=\mathbb{K},$ es decir todo cuerpo es espacio vectorial sobre sí mismo con las operaciones mencionadas.

Solución
$1)$ Dado que $(\mathbb{K}.+,\cdot)$ es por hipótesis un cuerpo, $(\mathbb{K}.+)$ es grupo abeliano.

$2)$ Sean $\lambda,\mu\in k$ y $x,y\in \mathbb{K}.$ Dado que $k\subset\mathbb{K},$ los elementos $\lambda,$ $\mu,$ $x,$ e $y$ pertenecen a $\mathbb{K}.$ Usando las propiedades de la estructura de cuerpo en $\mathbb{K},$ obtenemos de manera inmediata: $$\begin{aligned}& 1.\;\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y.\\
&2.\;(\lambda+\mu )x=\lambda x+\mu x.\\
& 3.\;\lambda(\mu x)=(\lambda \mu x).\\
& 4.\;1x= x.
\end{aligned}$$ Concluimos que $\mathbb{K}$ es espacio vectorial sobre el cuerpo $k,$ con las operaciones dadas.

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