Propiedades topológicas en los espacios normados

En este problema analizamos algunas propiedades topológicas de los espacios normados.

Enunciado
1.  Sean $E$ y $F$ espacios normados. Se dice que la aplicación $f:E\to F$ es Lipschitziana si existe una constante $k>0$ tal que $$ \left\|f(x)-f(y)\right\|\leq k \left\|x-y\right\|$$ para todo $x,y\in E.$ Demostrar que toda aplicación Lipschitziana es uniformemente continua.
2.  Sean $E$ un espacio normado. Designemos por $B(a,r)$ la bola abierta de centro $a\in E$  y radio $r>0,$ y por $B[a,r]$ la correspondiente bola cerrada.
$(a)$ Demostrar que  $T:B(0,1)\to B(a,r),$  $T(x)=a+rx$ es homeomorfismo, siendo además $T$ y $T^{-1}$ lipschitzianas.
$(b)$ La misma cuestión considerando bolas cerradas.
3.  Sea $(E,d)$ un espacio métrico y $B(a,r)$ una bola abierta de centro $a\in E$ y radio $r>0.$
$(a)$ Demostrar que $\overline{B(a,r)}\subset B[a,r].$ Es decir, la adherencia de una bola abierta está contendida en la bola cerrada.
$(b)$ Demostrar que no siempre $\overline{B(a,r)}= B[a,r].$
4.  Demostrar que en todo espacio normado la adherencia de una bola abierta es la bola cerrada del mismo centro y radio.
5.  Sea $E$ un espacio normado. Demostrar que ningún subespacio vectorial propio de $E$ tiene puntos interiores.
6.  Sea $E\neq \{0\}$ un espacio normado. Demostrar que $E$ no es compacto.
7. Sea $E$ un espacio normado. Demostrar que toda bola (abierta o cerrada), es un conjunto convexo.
8.  Demostrar que todo espacio normado $E$ es conexo por arcos (en consecuencia, es conexo).

Solución
1.  Sea $\epsilon>0.$ Si $f$ es Lipschitziana, existe una constante $k>0$ tal que $ \left\|f(x)-f(y)\right\|\leq  k\left\|x-y\right\|$ para todo $x,y\in E.$ Sea $\delta =\epsilon/k.$ Entonces, para todo $x,y\in E$ $$\left\|x-y\right\|<\delta=\frac{\epsilon}{k}\Rightarrow \left\|f(x)-f(y)\right\|\leq k\cdot\frac{\epsilon}{k}=\epsilon,$$ luego $f$ es uniformemente continua (y por tanto, continua).

2.  $(a)$ La aplicación está bien definida pues $$ \left\|T(x)-a\right\|= \left\|a+rx-a\right\|=r \left\|x\right\|<r\cdot 1=r,$$ es decir $T(x)\in B(a,r).$ Es inyectiva pues $T(x_1)=T(x_2)$ implica $a+rx_1=a+rx_2$ y por tanto $x_1=x_2.$

Es sobreyectiva. En efecto, sea $y\in B(a,r),$ entonces $$T(x)=y\Leftrightarrow a+rx=y\Leftrightarrow x=-\frac{1}{r}a+\frac{1}{r}y,$$ y se verifica $$\left\|x\right\|=\frac{1}{r}\left\|y-a\right\|< \frac{1}{r}\cdot r=1,$$ es decir $x\in B(0,1).$ Las aplicaciones $T$ y su inversa son por tanto $$T(x)=a+rx,\quad T^{-1}(y)=-\frac{1}{r}a+\frac{1}{r}y.$$ Dado que $$\left\|T(x_1)-T(x_2)\right\|=r\left\|x_1-x_2\right\|,\quad \left\|T^{-1}(y_1)-T^{-1}(y_2)\right\|=(1/r)\left\|y_1-y_2\right\|,$$  las funciones $T$ y $T^{-1}$ son lipschitzianas, por tanto uniformemente continuas y por tanto continuas.

$(b)$ Se demuestra de manera totalmente análoga.

3.  $(a)$ Si $x\notin B[a,r]$ entonces, $d(x,a)>r.$ Llamemos $\delta=d(x,a)-r$ y consideremos la bola $B(x,\delta).$ Entonces, $$y\in B(a,r)\cap B(x,\delta)\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & d(a,y)<r\\& d(x,y)<d(x,a)-r \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)<d(x,a)-r+r=d(x,a)\Rightarrow d(x,a)<d(x,a), $$ lo cual es absurdo. Es decir, $B(x,\delta)\cap B(a,r)=\emptyset$ y por tanto, $x\notin \overline{B(a,r)}.$ Concluimos que $\overline{B(a,r)}\subset B[a,r].$

$(b)$ Considerando en $E=\{a,b\}$ ($a\ne b$) la distancia trivial. Entonces $\overline{B(a,1)}=\{a\}$ y $B[a,1]=E,$ con lo cual no se verifica la igualdad.

4.  Sabemos que en general para todo espacio métrico $(X,d)$ se verifica $\overline{B(a,r)}\subset B[a,r].$ Veamos que en todo espacio normado $E$ se verifica además $B[a,r]\subset \overline{B(a,r)}.$ Sea $x\in B[a,r].$

$i)\;$ Si $\left\|x-a\right\|<r,$ entonces $x\in B(a,r)$ y trivialmente, $x\in \overline{B(a,r)}.$

$ii)$ Si $\left\|x-a\right\|=r,$ sea $0<\epsilon <r$ y elijamos $$y=a+\left(1-\frac{\epsilon}{2r}\right)(x-a).$$ Tenemos $$\left\|y-a\right\|=\left\|\left(1-\frac{\epsilon}{2r}\right)(x-a)\right\|=\left(1-\frac{\epsilon}{2r}\right)r=r-\frac{\epsilon}{2}<r\Rightarrow y\in B(a,r).$$ Por otra parte, $$\left\|y-x\right\|=\left\|a+\left(1-\frac{\epsilon}{2r}\right)(x-a)-x\right\|$$ $$=\left\|a+x-\frac{\epsilon}{2r}x-a+\frac{\epsilon}{2r}a-x\right\|$$ $$=\frac{\epsilon}{2r}\left\|a-x\right\|=\frac{\epsilon}{2r}r=\frac{\epsilon}{2}<\epsilon \Rightarrow y\in B(x,\epsilon).$$ Se verifica $ B(x,\epsilon)\cap B(a,r)\ne \emptyset,$ lo cual implica que $x\in \overline{B(a,r)}.$

5.  Sea $F$ subespacio propio de $E,$ es decir $F\ne \{0\}$ y $F\ne E.$ Existe $y_0\in E$ tal que $y_0\notin F.$ Sea $x_0\in F$ y cualquier bola $B(x_0,\epsilon).$ Para cualquier $\lambda\ne 0$ escalar, el vector $x=x_0+\lambda (y_0-x_0)$ no pertenece a $F.$   Efectivamente, $$x\in F\Rightarrow\lambda (y_0-x_0)\in F\Rightarrow y_0-x_0\in F\Rightarrow y_0\in F\text{ (absurdo).}$$ Entonces, $$\left|\lambda\right|<\frac{\epsilon}{\left\|y_0-x_0\right\|}\Rightarrow d(x,x_0)=\left\|x-x_0\right\|=\left\|\lambda (y_0-x_0)\right\|$$ $$=\left|\lambda\right|\left\| (y_0-x_0)\right\|<\frac{\epsilon}{\left\|y_0-x_0\right\|}\left\|y_0-x_0\right\|=\epsilon.$$ Es decir, en toda bola $B(x_0,\epsilon)$ hay puntos que no están en $F.$

6.  Recordemos que si $(X,d)$ es un espacio métrico, entonces $$X\text{ es compacto}\Rightarrow X\text{ está totalmente acotado}\Rightarrow X\text{ está acotado.}$$ Sea $x\in E$ con $x\ne 0$ fijo y $\lambda$ escalar variable. Entonces, $$\left\|\lambda x\right\|=\left|\lambda\right|\left\|x\right\|\to +\infty\;\;(\text{ si }\left|\lambda\right|\to +\infty).$$ Es decir, $E$ no está acotado y por tanto no es compacto.

7.  Sea la bola abierta $B(a,r)$ y sean $x,y\in B(a,r).$ Veamos que el segmento $[x,y]$ está contenido en $B(a,r).$ En efecto, $$z\in [x,y]\Rightarrow \exists t\in [0,1]:z=(1-t)x+ty$$ $$\Rightarrow \left\|z-a\right\|=\left\|(1-t)x+ty-\left[(1-t)a+ta)\right]\right\|$$ $$\leq (1-t)\left\|x-a\right\|+t\left\|y-a\right\|<(1-t)r+tr=r\Rightarrow z\in B(a,r).$$ Análogo razonamiento para bolas cerradas.

8.  Sea $a,b\in E$ y definamos $\varphi :[0,1]\to E,$  $\varphi (t)=a+t(b-a).$ Veamos que $\varphi$ es un arco que une $a$ con $b.$ En efecto, claramente $\varphi(0)=a$ y $\varphi (1)=b.$ Veamos ahora que $\varphi$ es continua. Si $a=b,$ el resultado es evidente. Si $a\ne b,$ sea $\epsilon >0$ y elijamos $\delta=\epsilon /\left\|b-a\right\|.$ Entonces, para cualquier $t_0$ fijo y cualquier $t,$ ambos en $[0,1]:$ $$\left|t-t_0\right|\le \delta\Rightarrow \left\|\varphi(t)-\varphi (t_0)\right\|=\left\|a+t(b-a)-a-t_0(b-a)\right\|$$ $$=\left|t-t_0\right|\left\|b-a\right\|\le \frac{\epsilon} {\left\|b-a\right\|}\left\|b-a\right\|=\epsilon.$$ En consecuencia, $\varphi$ es continua.

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