Espacios normados de dimensión finita

En el siguiente problema demostramos propiedades de los espacios normados de dimensión finita.

Enunciado
1.  Demostrar que todos los espacios normados $\left(E,\left\|\;\right\|_E\right)$ de dimensión finita dada $n$ sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K=\mathbb{R}}$ o $\mathbb{K=\mathbb{C}}$), son homeomorfos.
2.  Sean $E$ y $F$ espacios normados sobre $\mathbb{K}$ con $E$ de dimensión finita. Demostrar que toda aplicación lineal  $T:E\to F$ es continua.
3.  Sea $E$ espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ de dimensión finita. Demostrar que todas las normas que se pueden definir en $E$ son equivalentes.

Solución
1.  Dado que la relación ser homeomorfo a es de equivalencia, bastará demostrar que $\left(E,\left\|\;\right\|_E\right)$ es homemorfo a $\left(\mathbb{K}^n,\left\|\;\right\|_1\right).$ Por comodidad, denotaremos a $\left\|\;\right\|_E$ simplemente por $\left\|\;\right\|.$ Sea $B=\{u_1,\ldots,u_n\}$ una base de $E.$ Definimos la aplicación lineal $$T:\mathbb{K}^n\to E,\quad T(x)=x_1u_1+\cdots+x_nu_n,\text{ siendo }x=(x_1,\ldots, x_n).$$ Esta aplicación lineal es claramente biyectiva. Veamos que $T$ y $T^{-1}$ son continuas. Tenemos para todo $x\in\mathbb{K}^n:$ $$\left\|T(x)\right\|=\left\|T\left(\sum_{i=1}^nx_iu_i\right)\right\|=\left\|\sum_{i=1}^nx_iT(u_i)\right\|\le \sum_{i=1}^n\left|x_i\right|\left\|T(u_i)\right\|.$$ Llamemos $M=\max\left\{\left\|T(u_i)\right\|=i=1,\ldots,n\right\}.$ Claramente $M>0$ y queda $$\left\|T(x)\right\|\le M \sum_{i=1}^n\left|x_i\right|=M\left\|x\right\|_1\quad \forall x\in E,$$ es decir $T$ es continua, de acuerdo con una conocida propiedad.

Veamos ahora que $T^{-1}$ es continua. Sea $S=\{x\in\mathbb{K}^n: \left\|x\right\|_1=1\}$ y consideremos la aplicación: $$f:S\to \mathbb{K},\quad f(x)=\left\|T(x)\right\|=\left\|\sum_{i=1}^nx_iu_i\right\|.$$ Veamos que $f$ es Lipschitziana (y por tanto será continua). Para todo $x,y\in S:$ $$\left|f(x)-f(y)\right|=\left|\|\sum_{i=1}^nx_iu_i\|-\|\sum_{i=1}^ny_iu_i\|\right|\le \left\|\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)u_i\right\|$$ $$\le \sum_{i=1}^n\left|x_i-y_i\right|\left\|u_i\right\|\le K\left\|x-y\right\|_1 \text{ siendo }K=\max\{\left\|u_1\right\|,\ldots, \left\|u_n\right\|\}.$$ Como $S$ es compacto en $\left(\mathbb{K},\left\|\;\right\|_1\right),$  $f$ alcanza un mínimo absoluto en un punto $a\in S$ es decir,  $f(x)\ge f(a)=m$ para todo $x\in S.$ Tenemos: $$0\ne x\in \mathbb{K}^n\Rightarrow \frac{x}{\left\|x\right\|_1}\in S\Rightarrow f\left(\frac{x}{\left\|x\right\|_1}\right)=\frac{1}{\left\|x\right\|_1}f(x)$$ $$=\frac{1}{\left\|x\right\|_1}T(x)\ge m.$$ Como $\left\|a\right\|_1=1$ y $T(a)\ne 0$ ($T$ es biyectiva y $a\ne 0$) se tiene $m=f(a)=\left\|T(a)\right\|>0.$ Por tanto, para todo $0\ne x\in \mathbb{K}^n$ se verifica $$\left\|x\right\|_1\le \frac{1}{m}\left\|T(x)\right\|.$$ Sea ahora $y\in E.$ Puesto que $T$ es biyectiva, se tiene que $T^{-1}(y)\in\mathbb{K}^n$ y por tanto $$\left\|T^{-1}(y)\right\|_1\le \frac{1}{m}\left\|y\right\|,$$ lo cual implica que $T^{-1}$ es continua por una conocida caracterización.

2.  La aplicación $T^{-1}:E\to \mathbb{K}^n$ del apartado anterior está acotada en la bola unidad de $E$ por ser continua. Es decir, para todo $x\in E$ existe $K>0$ tal que $$T^{-1}(x)=\left|x_1\right|+\cdots +\left|x_n\right|<K\text{ si }\left\|x\right\|<1.\quad (*)$$ Sea ahora $B=\{u_1,\ldots, u_n\}$ base de $E.$ Para todo $x\in E$ podemos expresar $x=\sum_{i=1}^nx_iu_i.$ Entonces, $$\left\|T(x)\right\|\le \sum_{i=1}^n\left|x_i\right|\left\|T(u_i)\right\|\le M\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|$$ si $M=\max\{\left\|T(u_i)\right\|:i=1,\ldots, n\}.$ Si $x\in E$ y $\left\|x\right\|<1$ tenemos por $(*)$ que $\left\|T(x)\right\|<MK.$ La aplicación $T$ está acotada en $B(0,1)$ y por tanto es continua.

3.  Sean $\left\|\;\right\|_1$ y $\left\|\;\right\|_2$ dos normas sobre $E$ y sea la biyección $$i:\left(E,\left\|\;\right\|_1\right)\to \left(E,\left\|\;\right\|_2\right),\quad i(x)=x.$$ Como $i$ e $i^{-1}$ son lineales y $E$ de dimensión finita, $i$ e $i^{-1}$ son continuas, por tanto existen $K>0$ y $M>0$ tales que $$\left\|i(x)\right\|_2\leq K\left\|x\right\|_1\;\wedge \;\left\|i^{-1}(x)\right\|_1\leq M\left\|x\right\|_2\quad\forall x\in E,$$ lo cual implica que $$\frac{1}{M}\left\|x\right\|_1\leq \left\|x\right\|_2\le K\left\|x\right\|_1\quad\forall x\in E.$$ Es decir, $\left\|\;\right\|_1$ y $\left\|\;\right\|_2$ son equivalentes.

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