Una unidad en el anillo cociente Q[X] / I

Estudiamos si un determinado elemento es unidad en el anillo cociente $\mathbb{Q}[x]/I.$

Enunciado
Sea el ideal de $\mathbb{Q}[x],$  $I=(x^3 + 3x + 2).$ ¿Es $(x + 1) + I\in \mathbb{Q}[x]/I$ una unidad de $\mathbb{Q}[x]/I$?

Solución
Cualquier elemento de $\mathbb{Q}[x]/I$ tiene un único representante de grado $\le 2,$ es decir todo elemento de $\mathbb{Q}[x]/I$ es de la forma $$\left(ax^2+bx+c\right)+I\text{ con }a,b,c\in \mathbb{Q}.$$ Entonces, $\left(x+1\right)+I$ es unidad en $\mathbb{Q}[x]/I$ si y sólo si existen $a,b,c\in \mathbb{Q}$ tales que $$\left[\left(ax^2+bx+c\right)+I\right]\cdot \left[\left(x+1\right)+I\right]=1+I.\quad (*)$$ Tenemos las equivalencias $$(*)\Leftrightarrow \left(ax^2+bx+c\right)(x+1)+I=1+I$$ $$\Leftrightarrow \left(ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c\right)+I=1+I$$ $$\Leftrightarrow ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c-1\in I.$$ Efectuando la división euclídea de $ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c-1$ entre $x^3+3x+2$ obtenemos el resto $$r(x)=(a+b)x^2+(b+c-3a)x+c-2a-1.$$ Entonces, $$\left[\left(ax^2+bx+c\right)+I\right]\cdot \left[\left(x+1\right)+I\right]=1+I$$ $$\Leftrightarrow \left((a+b)x^2+(b+c-3a)x+c-2a-1\right)+I=1+I$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}  a+b=0 \\-3a+b+c=0\\-2a+c=2.\end{matrix}\right.$$ Fácilmente verificamos que el sistema anterior es compatible, en consecuencia el elemento dado es unidad en $\mathbb{Q}[x]/I.$

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