Norma de una aplicación lineal y continua

Enunciado
Sean $E$ y $F$ dos espacios normados y $T:E\to F$ una aplicación lineal y continua. Sabemos que en tal caso existe $K>0$ tal que $\left\|T(x)\right\|\le K\left\|x\right\|$ para todo $x\in E.$ En consecuencia el conjunto $$\left\{ \frac{\left\|T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}:x\in E,\;x\ne 0\right\}$$ está acotado por $K.$ Ello implica que tal conjunto tiene supremo finito. Definimos la norma de $T$ y se representa por $\left\|T\right\|$ a: $$\left\|T\right\|=\sup_{x\ne 0} \frac{\left\|T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}.$$

1.  Demostrar que $\left\|T\right\|=\sup_{\left\|u\right\|=1} \left\|T(u)\right\|.$
2.  Demostrar que $\left\|T(x)\right\|\le \left\|T\right\|\left\|x\right\|$ para todo $x\in E.$
3.  Sean $E,F,G$ espacios normados y $T:E\to F,$ $U:F\to G$ lineales y continuas. Demostrar que $\left\|U\circ T\right\|\le \left\|U\right\|\left\| T\right\|. $
4.  Sean $E$ y $F$ espacios normados y denotemos por $\mathcal{L}(E,F)$ al espacio vectorial de las aplicaciones lineales y continuas entre $E$ y $F.$ Demostrar que la aplicación $T\to\left\|T\right\|$ es una norma en $\mathcal{L}(E,F).$
5.  Sean $E$ y $F$ espacios normados. Demostrar que si $F$ es de Banach entonces $\mathcal{L}(E,F)$ también es de Banach.

Solución
1.  Para todo $x\in E$ con $x\ne 0$ y teniendo en cuenta que $T$ es lineal $$\frac{\left\|T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}=\frac{1}{\left\|x\right\|}\left\|T(x)\right\|=\left\|T\left(\frac{x}{\left\|x\right\|}\right)\right\|=T(u),$$ siendo $u=x/\left\|x\right\|$ unitario, de donde fácilmente se deduce el resultado.

2.  Para $x\ne 0$ tenemos $$\left\|T\right\|=\sup_{x\ne 0} \frac{\left\|T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}\Rightarrow \left\|T\right\|\ge \frac{\left\|T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}\;\forall x\ne 0\Rightarrow \left\|T(x)\right\|\le \left\|T\right\|\left\|x\right\|\;\forall x\ne0,$$ y para $x=0$ la desigualdad es trivial.

3.  Como la composición de aplicaciones lineales es lineal y la de continuas es continua, está bien definida $\left\|U\circ T\right\|.$ Entonces, $$\left\|U\circ T\right\|=\sup_{\left\|u\right\|=1} \left\|(U\circ T)(u)\right\|=\sup_{\left\|u\right\|=1} \left\|U\left(T(u)\right)\right\|\le \sup_{\left\|u\right\|=1} \left\|U\right\|\left\|T(u)\right\|$$ $$\le \left\|U\right\|\sup_{\left\|u\right\|=1} \left\|T\right\|\left\|u\right\|=\left\|U\right\|\left\| T\right\|.$$

4.  Claramente $\left\|T\right\|\ge 0$ para todo $T\in \mathcal{L}(E,F).$
$(i)$ Tenemos las equivalencias $$\left\|T\right\|= 0\Leftrightarrow \sup_{x\ne 0} \dfrac{\left\|T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}=0\Leftrightarrow \dfrac{\left\|T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}=0\;\forall x\ne 0$$ $$\Leftrightarrow \left\|T(x)\right\|=0\;\forall x\ne 0\Leftrightarrow T(x)=0\;\forall x\ne 0.$$ Como $T$ es lineal, $T(0)=0$ luego $\left\|T\right\|= 0\Leftrightarrow T=0.$

$(ii)$  Para todo $\lambda \in \mathbb{K}$ escalar y para todo $T\in \mathcal{L}(E,F):$ $$\left\|\lambda T\right\|=\sup_{x\ne 0} \dfrac{\left\|(\lambda T)(x)\right\|}{\left\|x\right\|}=\sup_{x\ne 0} \dfrac{\left\|\lambda T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}$$ $$=\sup_{x\ne 0} \dfrac{\left|\lambda\right|\left\| T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}=\left|\lambda\right|\sup_{x\ne 0} \dfrac{\left\| T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}=\left|\lambda\right|\left\|T\right\|.$$ $(iii)$  Para todo $T,S\in \mathcal{L}(E,F):$ $$\left\| T+S\right\|=\sup_{x\ne 0} \dfrac{\left\|(T+S)(x)\right\|}{\left\|x\right\|}=\sup_{x\ne 0} \dfrac{\left\|T(x)+S(x)\right\|}{\left\|x\right\|}\le \sup_{x\ne 0} \dfrac{\left\|T(x)\right\|+\left\|S(x)\right\|}{\left\|x\right\|}$$ $$ =\sup_{x\ne 0} \left(\dfrac{\left\|T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}+\dfrac{\left\|S(x)\right\|}{\left\|x\right\|}\right)\le \sup_{x\ne 0} \dfrac{\left\|T(x)\right\|}{\left\|x\right\|}+\sup_{x\ne 0} \dfrac{\left\|S(x)\right\|}{\left\|x\right\|}=\left\| T\right\|+\left\|S\right\|.$$ Es decir, $\left\| T+S\right\|\le \left\| T\right\|+\left\|S\right\|.$

5.  Sea $\{T_n\}$ una sucesión de Cauchy en $\mathcal{L}(E,F)$ y $0\ne x\in E$ fijo. Veamos que $\{T_n(x)\}$ es de Cauchy en $F.$ Efectivamente, para todo $\epsilon >0$ existe $n_0$ natural tal que $$\left\|T_n-T_m\right\|<\frac{\epsilon}{\left\|x\right\|}\text{ si }n,m\ge n_0.$$ Entonces, $$\left\|T_n-T_m\right\|<\frac{\epsilon}{\left\|x\right\|}\Rightarrow \sup_{v\ne 0} \frac{\left\|T_n(v)-T_m(v)\right\|}{\left\|v\right\|}<\frac{\epsilon}{\left\|x\right\|}$$ $$\Rightarrow  \frac{\left\|T_n(x)-T_m(x)\right\|}{\left\|x\right\|}<\frac{\epsilon}{\left\|x\right\|}\Rightarrow \left\|T_n(x)-T_m(x)\right\|<\epsilon.$$ Al ser $F$ de Banach,  $\{T_n(x)\}$ es convergente. Como $\{T_n(0)\}$ es trivialmente convergente, tenemos definida una función $T$ de la siguiente manera: $$T:E\to F,\quad T(x)=\lim_{n\to +\infty} T_n(x)$$ Veamos que $T\in\mathcal{L}(E,F),$ es decir que es lineal y continua. Para todo $\lambda.\mu\in \mathbb{K}$ y para todo $x,y\in E:$ $$T(\lambda x+\mu y)=\lim_{n\to +\infty} T_n(\lambda x+\mu y)=\lim_{n\to +\infty}\left(\lambda T_n(x)+\mu T_n(y)\right)$$ $$=\lambda \lim_{n\to +\infty} T_n(x)+\mu \lim_{n\to +\infty} T_n(y)=\lambda T(x)+\mu T(y),$$ luego $T$ es lineal. Veamos ahora que es continua. Teniendo en cuenta la continuidad de la norma y que $\left\|T_n(x)\right\|\le \left\|T_n\right\|\left\|x\right\|$ para todo $\in E:$ $$\left\|T(x)\right\|=\left\|\lim_{n\to +\infty}T_n(x)\right\|=\lim_{n\to +\infty}\left\|T_n(x)\right\|\le \sup_{n\in \mathbb{N}^*}\left\|T_n(x)\right\|\le \sup_{n\in \mathbb{N}^*}\left\|T_n\right\|\left\|x\right\|.$$ La sucesión $T_n$ es de Cauchy y sabemos que toda sucesión de Cauchy en un espacio métrico está acotada, en consecuencia $M=\sup_{n\in \mathbb{N}^*}\left\|T_n\right\|$ es finito y por tanto ocurre $\left\|T(x)\right\|$ $\le$  $M\left\|x\right\|$ para todo $x\in E.$ Esto implica que $T$ es continua. Hemos demostrado que $T\in\mathcal{L}(E,F).$ Basta demostrar que $T_n\to T$ en $\mathcal{L}(E,F).$

Sea $\epsilon>0.$ Por ser $T_n$ sucesión de Cauchy, existe $n_0$ nattural tal que $\left\|T_n-T_m\right\|<\epsilon$ si $n,m\ge n_0.$ Sea $x\in E$ y $n\ge n_0,$ entonces para todo $m\ge n_0:$ $$\left\|T_m(x)-T_n(x)\right\|=\left\|(T_m-T_n)(x)\right\|\le \left\|T_n-T_m\right\|\left\|x\right\|\le \epsilon \left\|x\right\|. $$ Dado que $T(x)=\lim_{m\to +\infty}T_m(x),$ $$\left\|T(x)-T_n(x)\right\|=\left\|(T-T_n)(x)\right\|\le \epsilon \left\|x\right\|\Rightarrow \frac{\left\|(T-T_n)(x)\right\|}{\left\|x\right\|}\le \epsilon\Rightarrow \left\|T-T_n\right\|\le \epsilon$$ lo cual demuestra que $T_n\to T$ en $\mathcal{L}(E,F).$

Nota. Se puede demostrar que la condición de ser $F$ de Banach es condición necesaria para que lo sea $\mathcal{L}(E,F).$

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