Suma de una serie a partir de la de Basilea

Hallamos la suma de una serie a partir de la de Basilea $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.$

Enunciado
Se considera la  serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n-1}{n^2(n+1)^2}.$
$(a)$ Demostrar que es convergente.
$(b)$ Hallar su suma sabiendo que $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.$

Solución

$(a)$ La serie dada es de términos positivos. Además:$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{2n-1}{n^2(n+1)^2}:\frac{1}{n^3}\right)=1.$$ De acuerdo con el criterio de comparación por cociente, la serie dada tiene el mismo carácter que la $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^3,$ siendo ésta convergente. La serie dada es por tanto convergente.

$(b)$ Efectuemos la descomposición $$\dfrac{2x-1}{x^2(x+1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x+1}+\dfrac{D}{(x+1)^2}.\qquad (1)$$ Operando, podemos expresar $(1)$ en la forma:$$\dfrac{2x-1}{x^2(x+1)^2}=\dfrac{Ax(x+1)^2+B(x+1)^2+Cx^2(x+1)+Dx^2}{x^2(x+1)^2}.\qquad (2)$$Igualando numeradores en $(2)$ y particularizando $x=0$ y $x=-1$ obtenemos los valores $B=-1$ y $D=-3.$ Sustituyendo estos valores e identificando coeficientes, obtenemos un sistema que proporciona los valores $A=4$ y $C=-4.$ La igualdad $(2)$ es una igualdad de funciones válida para todo $x\in\mathbb{R}-\{0,-1\},$ en consecuencia es válida para todo natural $n\geq 1.$ Podemos por tanto expresar$$\dfrac{2n-1}{n^2(n+1)^2}=\dfrac{4}{n}-\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{4}{n+1}-\dfrac{3}{(n+1)^2}.\qquad (3)$$ Sea $S_n$ la suma parcial enésima de la serie dada y $T_n$ la de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2$. Entonces, usando $(3):$$$S_n=4\left(1+\dfrac{1}{2}+\ldots+\dfrac{1}{n}\right)-4\left(\frac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n+1}\right)$$$$-\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\ldots+\dfrac{1}{n^2}\right)-3\left(\frac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\ldots+\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)$$$$=4-\frac{4}{n+1}-4T_n+3-\dfrac{3}{(n+1)^2}.$$La suma $S$ pedida es por tanto:$$S=\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n=7-\frac{4\pi^2}{6}=\dfrac{21-2\pi^2}{3}.$$

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