Cuerpo infinito con característica finita

Enunciado
Construir un cuerpo infinito con característica finita.

Solución
Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo, y sea $\mathbb{K}[[X]]$ el conjunto de las series formales $$\mathbb{K}[[X]]=\left\{\sum_{n\ge 0}a_nX^n:a_n\in\mathbb{K}\right\}.$$ Sabemos que $\mathbb{K}[[X]]$ es un dominio de integridad con las operaciones $$\sum_{n\ge 0}a_nX^n+\sum_{n\ge 0}b_nX^n=\sum_{n\ge 0}(a_n+b_n)X^n,$$ $$\left(\sum_{n\ge 0}a_nX^n\right)\cdot\left(\sum_{n\ge 0}b_nX^n\right)=\sum_{n\ge 0}c_nX^n\text{ con }c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}.$$ Sea ahora $p$ un número primo y llamemos $\mathcal{F}$ al cuerpo de fracciones del dominio de integridad $\mathbb{Z}_p[[X]].$ Dado que $1\in \mathbb{Z}_p\subset \mathcal{F}$ es el elemento neutro para la operación $\cdot,$ se verifica que $m=p$ es el menor entero positivo que satisface $m1=0,$ en consecuencia la característica de $\mathcal{F}$ es $p.$ Claramente el conjunto $\mathbb{Z}_p[[X]]$ es infinito, por tanto lo es su cuerpo de fracciones, dado que $\mathbb{Z}_p[[X]]\subset \mathcal{F}.$

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