Principio del argumento: ceros en Re (z) > 0

Enunciado
Usando el principio del argumento, calcular el número de ceros de la función  $$f(z)=z^5+z^4+2z^3-8z-1$$ en el semiplano  $\textrm{Re }(z)>0.$

Solución
Consideremos la curvas $$\gamma_1(t)=ti,\quad t\in [-R,R],$$ $$\gamma_2(t)=R\cos t+i\text{sen }t,\quad t\in [-\pi/2,\pi/2],$$ sea $\gamma=\gamma_1\cup\gamma_2.$ Elijamos  $R$  suficientemente grande para que todos los ceros de  $f(z)$  en  $\text{Re }(z)>0$  estén en el interior geométrico  $D$  de  $\gamma$. Según el principio del argumento, si  $N$  es el número de ceros de  $f(z)$  en  $D$  y  $P$  el de sus polos, entonces: $$N-P=\dfrac{1}{2\pi}\Delta_{\gamma}\textrm{Arg}f(z)$$ siendo en nuestro caso  $P=0$  por ser  $f(z)$  polinómica. Primero vamos a calcular  $\Delta_{\gamma_1}\textrm{Arg}f(z)$  siendo ${\gamma_1}$  la  semicircunferencia contenida en  $\gamma$  y recorrida en sentido antihorario. Podemos expresar: $$f(z)=z^5\left(1+\dfrac{1}{z}+\dfrac{2}{z^2}-\dfrac{8}{z^4}-\dfrac{1}{z^5}\right).$$ Entonces:$$\textrm{Arg}f(z)=5\textrm{Arg}z+\textrm{Arg}\left(1+\dfrac{1}{z}+\dfrac{2}{z^2}-\dfrac{8}{z^4}-\dfrac{1}{z^5}\right)$$ $$\Rightarrow\Delta_{\gamma_1}\textrm{Arg}f(z)=5\pi +\Delta_{\gamma_1}\left(1+\dfrac{1}{z}+\dfrac{2}{z^2}-\dfrac{8}{z^4}-\dfrac{1}{z^5}\right)$$ Por la continuidad del argumento, para  $R\rightarrow +\infty$  obtenemos  $\Delta_{\gamma_1}\textrm{Arg}f(z)=5\pi$. Ahora vamos a mover  $z$  en el segmento  $\gamma_2$  que va desde  $iR$  hasta  $-iR$. La ecuación de este segmento  es  $z=it$  con  $t\in [-R,R]$. Sustituyendo en  $f(z)$  obtenemos: $$f(z)=(it)^5+(it)^4+2(it)^3-8(it)-1=(t^4-1)+(t^5-2t^3-8t)i.$$ Haremos un esbozo de la gráfica de: $$(u,v)=(t^4-1,t^5-2t^3-8t),\quad t\in (-\infty,+\infty).$$ Para  $t^4-1=0$  obtenemos  $t=\pm 1$  y para  $t^5-2t^3-8t=0$, $t=\pm 2,t=0$. Obtenemos el cuadro de valores: $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{t}&2&1&0&-1&-2\\\hline
{}u&15&0&-1&0&15\\
{}v&0&-9&0&9&0
\end{array}$$ Por otra parte,  $\lim_{t \to{\pm}\infty}{u}=+\infty,\;\lim_{t \to{\pm}\infty}{v}=\pm \infty$. Haciendo un  esbozo de la curva transformada por  $f$  de la  $\gamma_2$ cuando $t$ se recorre desde  $t=+\infty$  hasta  $t=-\infty$ deducimos: $$\Delta \textrm{Arg}_{\gamma_2}f(z)=-3\pi\Rightarrow \Delta \textrm{Arg}_{\gamma}f(z)=5\pi -3\pi=2\pi \Rightarrow N=1.$$ La función  $f(z)$  tiene pues exactamente un cero en  $\textrm{Re}(z)>0.$

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