Continuidad y derivadas direccionales

Demostramos que la existencia de las derivadas direccionales en un punto no implica la continuidad en dicho punto.

Enunciado
Se considera la función  $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \frac{xy^2}{x^2+y^4}& \text{si }x\ne0\\& 0 & \text{si }x=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ (a) Demostrar que existen todas las derivadas direccionales de $f$ en $(0,0).$
(b) Demostrar que  $f$ no es continua en $(0,0).$

Solución
(a)  Sea $u=(u_1,u_2)$ un vector unitario de $\mathbb{R}^2.$ Entonces $$D_uf(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f\left((0,0)+h(u_1,u_2)\right)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f\left(hu_1,hu_2\right)}{h}.$$ Para $u_1=0,$ tenemos $$D_uf(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f\left(0,hu_2\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=\lim_{h\to 0}0=0.$$ Si $u_1\ne 0$ entonces $hu_1\ne 0,$ por tanto $$D_uf(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f\left(hu_1,hu_2\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{h^3u_1u_2^2}{h^2u_1^2+h^4u_2^4}}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{u_1u_2^2}{u_1^2+h^2u_2^4}=\frac{u_2^2}{u_1}.$$ Existen todas las derivadas direccionales de $f$ en $(0,0)$ y son finitas.

(b)  Consideremos la parábola $P$ de ecuación $x=y^2.$ Entonces $$\lim_{\begin{matrix}(x,y)\to (0,0)\\(x,y)\in P\end{matrix}}f(x,y)=\lim_{y\to 0}\frac{y^4}{y^4+y^4}=\lim_{y\to 0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$ Si existe $\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y),$ éste ha de ser $1/2,$ que no coincide con $f(0,0).$ En consecuencia  $f$ no es continua en $(0,0).$

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