Límites reiterados, contraejemplo

En el siguiente problema demostramos mediante un contraejemplo que la existencia de límite no implica la de los límites reiterados.

Enunciado
Consideremos la función  $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ dada por  $$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & y &\text{si }x>0\\-& y &\text{si }x\le 0.\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ (a)  Demostrar que existe $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).$
(b)  Demostrar que no existe alguno de los límites reiterados en $(0,0).$

Solución
Solución
(a)  Veamos que $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.$ Efectivamente, para todo $\epsilon >0$ $$\left|f(x,y)-0\right|<\epsilon \Leftrightarrow \left|f(x,y)\right|<\epsilon \Leftrightarrow \left|y\right|<\epsilon,$$ y para que se cumpla lo anterior basta elegir $\left|x\right|<\delta$ e $\left|y\right|<\delta$ con $\delta=\epsilon.$

(b)  Elijamos $y\ne 0.$ Entonces $$\lim_{x\to 0^+}f(x,y)=\lim_{x\to 0^+} y=y,\quad \lim_{x\to 0^-}f(x,y)=\lim_{x\to 0^+} -y=-y.$$ Es decir, no existe $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x,y)$ y por tanto tampoco existe $\displaystyle\lim_{y\to 0}\left[\lim_{x\to 0}f(x,y)\right].$

Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.