Puntos críticos de $ f(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k $

Enunciado
(a) Dibujar en el plano el dominio de la función escalar $$f(x,y)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k.$$ (b) Hallar y clasificar los puntos críticos de $f.$

(Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
(a) La serie dada es una serie geométrica de razón $xy,$ en consecuencia es convergente si y sólo si se verifica $|xy|<1$ o equivalentemente, si y sólo si $-1<xy<1.$ El dominio de $f$ es por tanto: $$\mbox{Dom }f=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:-1<xy<1\}$$ Corresponde pues al conjunto abierto del plano que contiene al origen y cuya frontera son las hipérbolas equiláteras $y=1/x$ e $y=-1/x.$

(b) Aplicando la conocida fórmula de la suma de la serie geométrica: $$f(x,y)=1+xy+(xy)^2+(xy)^3+\ldots=\dfrac{1}{1-xy}\quad (\left|xy\right|<1).$$ Hallemos los puntos críticos de $f:$ $$\left \{ \begin{matrix} \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}=\dfrac{y}{(1-xy)^2}=0\\\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}=\dfrac{x}{(1-xy)^2}=0\end{matrix}\right.\quad \Leftrightarrow (x,y)=(0,0).$$ Hallemos las parciales de orden dos de $f$ en el punto crítico $(0,0):$ $$\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}=\dfrac{-2(1-xy)(-y)y}{(1-xy)^4}=\dfrac{2y^2}{(1-xy)^3},$$ $$\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x\partial y}}=\dfrac{1(1-xy)^2-2(1-xy)(-x)y}{(1-xy)^4}=\dfrac{xy+1}{(1-xy)^3},
$$ $$\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y^2}}=\dfrac{-2(1-xy)(-x)x}{(1-xy)^4}=\dfrac{2x^2}{(1-xy)^3}.$$ La matriz hessiana de $f$ en el punto crítico $(0,0)$ es: $$H(f,(0,0))=\begin{bmatrix}{\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}(0,0)}&{\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}}(0,0)}\\{ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}}(0,0) }&{\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}(0,0)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}.$$ Dado que $\det H(f,(0,0))=-1<0,$ en el punto $(0,0)$ no hay extremo (punto de ensilladura).

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