Integral $ \int_{0}^{+\infty}(\cos x/\cosh x)\;dx $ por residuos

Enunciado
Calcular aplicando la técnica de residuos la integral real impropia $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos x}{\cosh x}\;dx.$$ Sugerencia: integrar $f(z)=\dfrac{e^{iz}}{\cosh z}$ a lo largo de un cierto rectángulo.

 (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
Elijamos el rectángulo $\Gamma$ de vértices: $$A(R,0),\; B(R,\pi),\;C(-R,\pi),\;D(-R,0)\quad (R>0).$$

Hallemos las singularidades de $f(z)$ en el interior geométrico de $R.$ Dado que las funciones $\cos z$ y $\cosh z$ son analíticas en $\mathbb{C},$ las singularidades de $f(z)$ se obtienen en los puntos que anulan a $\cosh z.$ Tenemos: $$\cosh z=0 \Leftrightarrow \dfrac{e^z+e^{-z}}{2}=0\Leftrightarrow e^z+e^{-z}$$$$\Leftrightarrow e^z+\dfrac{1}{e^z}=0 \Leftrightarrow \dfrac{e^{2z}+1}{e^z}=0 \Leftrightarrow e^{2z}=-1.$$ Escribiendo $z=x+iy$ con $x,y$ reales: $$e^{2z}=-1 \Leftrightarrow e^{2x+2iy}=\cos \pi +i\sin \pi
\Leftrightarrow e^{2x}(\cos 2y+i\sin 2y)=$$ $$\cos \pi +i\sin \pi\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} e^{2x}=1\\2y=\pi +2k\pi\end{matrix}\right.\;(k\in \mathbb{Z})\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}x=0\\y=\pi/2+k\pi \end{matrix}\right.\;(k\in \mathbb{Z}).$$ El único punto singular en el interior geométrico de $R$ es $z_0=\pi i/2$ y no hay singularidades en la frontera. Dado que $\cos z_0\neq 0,$ se trata de un polo. Integrando en sentido antihorario se verifica: $$\displaystyle\int_{\Gamma}f(z)\;dz=\displaystyle\int_{DA}f(z)\;dz+\displaystyle\int_{AB}f(z)\;dz+\displaystyle\int_{BC}f(z)+\displaystyle\int_{CD}f(z)\;dz\;dz.\;\; (1)$$ Llamemos respectivamente $I,I_1,I_2,I_3,I_4$ a las integrales que aparecen en $(1)$ y analicemos cada una de ellas. Para calcular $I,$ hallemos el siguiente límite usando la regla de L’Hopital: $$\displaystyle\lim_{z \to \pi i/2}\dfrac{e^{iz}(z-\pi i/2)}{\cosh z}=\left\{\dfrac{0}{0}\right\}=\displaystyle\lim_{z \to \pi i/2}\dfrac{ie^{iz}(z-\pi i/2)+e^{iz}}{\sinh z}$$ $$=\dfrac{e^{-\pi/2}}{\sinh (\pi i/2)}
=\dfrac{e^{-\pi/2}}{(e^{\pi i/2}-e^{-\pi i/2})/2}=\dfrac{e^{-\pi/2}}{i\sin (\pi/2)}=\dfrac{e^{-\pi/2}}{i}\neq 0.$$ Es decir, $z_0=\pi i/2$ es polo simple de la función $f$ y $\mbox{Res }(f,\pi i/2)=e^{-\pi/2}/i.$ Aplicando el teorema de los residuos de Cauchy, $I=2\pi i\cdot e^{-\pi/2}/i=2\pi e^{-\pi/2}.$ La integral $I_1$ es: $$I_1=\displaystyle\int_{-R}^{R}\dfrac{e^{ix}}{\cosh x}\;dx.$$ Efectuando el cambio $z=R+iy$ para $I_2$ y $z=-R+iy$ para $I_4:$ $$I_2=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{e^{R-iy}idy}{\cosh (R+iy)}\;,\quad I_4=\displaystyle\int_{\pi}^{0}\dfrac{e^{-Ri-y}idy}{\cosh (-R+iy)}.$$ Efectuando el cambio $z=x+\pi i$ para $I_3:$ $$I_3=\displaystyle\int_{R}^{-R}\dfrac{e^{ix-\pi}}{\cosh (x+\pi i)}\;dx.$$ Dado que $I$ es constante, $\lim_{R \to{+}\infty}I=2\pi e^{-\pi/2}.$ Hallemos ahora $\lim_{R \to{+}\infty}I_1.$ Separando $I_1$ en suma de dos integrales, efectuando el cambio $x=-t,$ y teniendo en cuenta que la función $\cosh x$ es par: $$I_1=\displaystyle\int_{-R}^{R}\dfrac{e^{ix}}{\cosh x}\;dx=\displaystyle\int_{-R}^{0}\dfrac{e^{ix}}{\cosh x}\;dx+\displaystyle\int_{0}^{R}\dfrac{e^{ix}}{\cosh x}\;dx$$ $$=\displaystyle\int_{R}^{0}\dfrac{e^{-it}}{\cosh (-t)}\;(-dt)+\displaystyle\int_{0}^{R}\dfrac{e^{ix}}{\cosh x}\;dx=\displaystyle\int_{0}^{R}\dfrac{e^{-ix}+e^{ix}}{\cosh x}\;dx$$ $$=2\displaystyle\int_{0}^{R}\dfrac{\cos x}{\cosh x}\;dx\Rightarrow \displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}I_1=2\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos x}{\cosh x}\;dx.$$ Para hallar $\lim_{R \to{+}\infty}I_3,$ tenemos por una parte $$\cosh(x+ \pi i)=\dfrac{e^{x+\pi i}+e^{-x-\pi i}}{2}=\dfrac{-e^{x}-e^{-x}}{2}=-\cosh x.$$ Separando $I_3$ en suma de dos integrales, efectuando el cambio $x=-t,$ y teniendo en cuenta que la función $\cosh x$ es par, obtenemos de manera análoga a la de  $I_1:$ $$\displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}I_3=2e^{-\pi}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos x}{\cosh x}\;dx.$$ Tomando límites en la igualdad $(1)$ cuando $R\to +\infty:$ $$2\pi e^{-\pi/2}=2(1+e^{-\pi})\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos x}{\cosh x}\;dx+\displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}I_2+\displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}I_4.$$ Si demostramos $\lim_{R \to{+}\infty}I_2=\lim_{R \to{+}\infty}I_4=0,$ entonces: $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos x}{\cosh x}\;dx=\dfrac{\pi e^{-\pi/2}}{1+e^{-\pi}}=\dfrac{\pi}{e^{\pi/2}+e^{-\pi/2}}=\dfrac{\pi}{2\cosh (\pi/2)}=\dfrac{\pi}{2}\mbox{sech}\dfrac{\pi}{2}.$$ y ya tendríamos calculada la integral pedida. Acotemos la integral $I_2.$ Usando la propiedad $\left|z_1-z_2\right|\geq \left|\:\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\;\right|$ y que $1$ es cota de $e^{-y}$ en $[0,\pi]:$ $$\left | \dfrac{e^{iR-y}i}{\cosh (R+iy)}\right |=\dfrac{|e^{-y}|}{\left |e^{R+iy}+e^{-R-iy}\right |/2}=\dfrac{2e^{-y}}{\left|e^{R}e^{iy}-(-e^{-R}e^{-iy})\right|}$$ $$\leq  \dfrac{2e^{-y}}{\left|\;\left|e^{R}e^{iy}\right|-|(-e^{-R}e^{-iy})|\;\right|}=\dfrac{2e^{-y}}{e^{R}-e^{-R}}\leq \dfrac{2}{e^{R}-e^{-R}}.$$ Como el módulo de la integral de una función a lo largo de una curva es menor que una cota del módulo de la función por la longitud de la curva: $$0\leq |I_2|\leq \dfrac{2}{e^{R}-e^{-R}}\cdot \pi \Rightarrow 0\leq \displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}|I_2|\leq \displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}\dfrac{2\pi}{e^{R}-e^{-R}}=0.$$ En consecuencia, $\lim_{R \to{+}\infty}I_2=0.$ De manera análoga se demuestra que $\lim_{R \to{+}\infty}I_4=0.$ Podemos pues concluir que $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos x}{\cosh x}\;dx=\dfrac{\pi}{2}\mbox{ sech}\dfrac{\pi}{2}.$$

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