Integral $ \int_0^{2\pi}\frac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt $

Enunciado
Calcular la integral $$I(a)=\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{\cos 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt$$ para todos los posibles valores del parámetro real $a.$

 (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
Veamos para qué valores de $a\in\mathbb{R}$ la integral $I(a)$ es convergente. Dado que el intervalo de integración está acotado, la integral sólo puede ser divergente si la función integrando tiene puntos de discontinuidad infinita. Igualando el denominador a $0$ y resolviendo en $a:$ $$a=\dfrac{2\cos t\pm \sqrt{4\sin^2t-4}}{2}=\dfrac{2\cos t\pm i\sin t}{2}=\cos t\pm i\sin t.$$ Dado que $a$ es real, ha de ser $\sin t=0$ en $[0,2\pi],$ es decir $t=0,t=\pi$ o $t=2\pi.$ Por tanto la integral sólo puede ser divergente para $a=1$ o $a=-1.$ Si $a=1,$ el integrando tiene discontinuidades infinitas en $0$ y $2\pi.$ Tenemos: $$\displaystyle\lim_{t \to 0^+} \left(\dfrac{\cos 3t}{2-2\cos t}:\dfrac{1}{t^2}\right)=\displaystyle\lim_{t \to 0^+}\dfrac{t^2\cos 3t}{2-2\cos t}=\displaystyle\lim_{t \to 0^+}\dfrac{t^2\cos 3t}{2(t^2/2)}=1\neq 0.$$ Por un conocido criterio de convergencia, la integral es divergente. Si $a=-1,$ el integrando presenta un punto de discontinuidad infinita en $t=\pi.$ Entonces, $$\displaystyle\lim_{t \to \pi} \left(\dfrac{\cos 3t}{2+2\cos t}:\dfrac{1}{(t-\pi)^2}\right)=\displaystyle\lim_{t \to \pi}\dfrac{(t-\pi)^2\cos 3t}{2+2\cos t}=\displaystyle\lim_{u \to 0}\dfrac{u^2\cos 3(u+\pi)}{2+2\cos (u+\pi)}$$ $$=\displaystyle\lim_{u \to 0}\dfrac{u^2\cos 3(u+\pi)}{2-2\cos u}=\displaystyle\lim_{u \to 0}\dfrac{u^2\cos 3(u+\pi)}{2(u^2/2)}=-1\neq 0$$ y la integral es también divergente en este caso. Por tanto tenemos que calcular $I(a)$ cuando $a\neq \pm 1.$ Para ello consideramos la igualdad: $$\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{e^{3it}}{1-2a\cos t+a^2}\;dt=I(a)+i\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{\sin 3t}{1-2a\cos t+a^2}\;dt.\quad (1)$$ La integral $I(a)$ es por tanto la parte real de la integral $J(a)$ del primer miembro de $(1).$ Con el cambio de variable $z=e^{it}$ obtenemos: $$J(a)=\displaystyle\int_{|z|=1}\dfrac{z^3}{1-2a\left(\frac{z^2+1}{2z}\right)+a^2}\dfrac{dz}{iz}=-\dfrac{1}{i}\displaystyle\int_{|z|=1}\dfrac{z^3}{az^2-(a^2+1)z+a}\;dz.$$ Igualando el denominador a $0,$ obtenemos los puntos singulares: $$z=\dfrac{a^2+1\pm \sqrt{a^4+2a^2+1-4a^2}}{2a}=\dfrac{a^2+1\pm \sqrt{(a^2-1)^2}}{2a}$\\$=\dfrac{a^2+1\pm (a^2-1)}{2a}=\{a,1/a\}\;\;(a\neq 0).$$ Éstas singularidades son polos simples. Llamando $f$ a la función integrando: $$\mbox{Res }(f,a)=\displaystyle\lim_{z \to a}\dfrac{z^3(z-a)}{a(z-a)(z-1/a)}=\dfrac{a^3}{a^2-1},$$ $$\mbox{Res }(f,1/a)=\displaystyle\lim_{z \to 1/a}\dfrac{z^3(z-1/a)}{a(z-a)(z-1/a)}=\dfrac{1}{a^3(1-a^2)}.$$ Para $|a|<1$ el único polo en el interior geométrico de $|z|=1$ es $a$ y para $|a|>1,$ el único es $1/a.$ Por tanto: $$J(a)=-\dfrac{1}{i}2\pi i\dfrac{a^3}{a^2-1}=\dfrac{2\pi a^3}{1-a^2}\quad (|a|<1\;\wedge a\;\neq 0),$$ $$
J(a)=-\dfrac{1}{i}2\pi i\dfrac{1}{a^3(1-a^2)}=\dfrac{2\pi}{a^3(a^2-1)}\quad (|a|>1).$$ Para $a=0$ tenemos: $$I(0)=\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos 3t\;dt=\left[\frac{\sin 3t}{3}\right]_0^{2\pi}=0.$$ En consecuencia podemos concluir que: $$I(a)=\left \{ \begin{matrix}{ \dfrac{2\pi a^3}{1-a^2}}&\mbox{ si }& |a|<1\;\wedge a\;\neq 0\\\dfrac{2\pi}{a^3(a^2-1)} & \mbox{si}& |a|>1\\0 & \mbox{si}& a=0.\end{matrix} \right.$$

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