Integral $ \int_0^{+\infty}x^n\;dx/(x^{2n+1}+1) $

Enunciado
(a) Determinar y clasificar las singularidades de la función compleja de variable compleja $f(z),$ siendo $n$ un entero positivo. Hallar el valor del residuo en dichas singularidades. $$f(z)=\dfrac{z^n}{z^{2n+1}+1}.$$ (b) Aplicando la técnica de residuos calcular la integral real impropia: $$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{x^{2n+1}+1}\;dx.$$ Indicación: utilizar como camino de integración el borde de un sector adecuado.

 (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
(a) Los puntos singulares de $f(z)$ son aquellos que anulan al denominador: $$z^{2n+1}+1=0\Leftrightarrow z^{2n+1}=-1 \Leftrightarrow z^{2n+1}=\exp \{\pi i\}.$$ Aplicando la conocida fórmula para el cálculo de las raíces de un número complejo, obtenemos los puntos singulares de $f(z):$ $$z_k=\exp \left\{ \dfrac{(2k+1)\pi}{2n+1}\;i \right\}\qquad(k=0,1,\ldots,2n).$$ Claramente, estos $z_k$ son polos simples, por tanto sus residuos son: $$\mbox{Res }(f,z_k)=\displaystyle\lim_{z \to z_k}\dfrac{z^n(z-z_k)}{z^{2n+1}+1}.$$ El límite anterior presenta la indeterminación $0/0,$ aplicando la regla de L’Hopital: $$\mbox{Res }(f,z_k)=\displaystyle\lim_{z \to z_k}\dfrac{nz^{n-1}(z-z_k)+z^n}{(2n+1)z^{2n}}=\dfrac{z_k^n}{(2n+1)z_k^{2n}}=\dfrac{z_k^{-n}}{2n+1}.$$ (b) Elijamos el sector circular $\gamma$ de centro el origen $O,$ radio radio $R>0$ y puntos extremos del arco, el $A=R$ y $B=R\exp \{2\pi i/(2n+1)\}.$ La amplitud del sector es por tanto $\alpha=2\pi i/(2n+1).$

Integrando en sentido antihorario: $$\displaystyle\int_{\gamma}f(z)\;dz=\displaystyle\int_0^R\dfrac{x^n\;dx}{x^{2n+1}+1}+\displaystyle\int_{AB}\dfrac{z^n\;dz}{z^{2n+1}+1}+\displaystyle\int_{BO}\dfrac{z^n\;dz}{z^{2n+1}+1}.\quad (1)$$ Hallemos la integral del primer miembro de $(1).$ Los polos en el interior del sector corresponden a los $k$ que verifican $0<(2k+1)\pi/(2n+1)<2\pi/(2n+1),$ es decir sólo $z_0=\exp\{\frac{\pi i}{2n+1}\}$ está en el interior. Por tanto: $$\displaystyle\int_{\gamma}f(z)\;dz=2\pi i \;\mbox{Res }(f,z_0)=\dfrac{2\pi i}{2n+1}\exp\left\{-\dfrac{\pi n }{2n+1}i\right\}.$$ Transformemos ahora la tercera integral del segundo miembro de $(1).$ Efectuando el cambio de variable $z=\rho \exp\{\frac{2\pi}{2n+1}i\}$ obtenemos: $$\displaystyle\int_{BO}\dfrac{z^n\;dz}{z^{2n+1}+1}=\displaystyle\int_R^0\dfrac{\rho^n\exp\{\frac{2\pi n}{2n+1}i\}}{\rho^{2n+1}\exp\{2\pi i\}+1}\cdot \exp\left\{\frac{2\pi}{2n+1}i\right\}\;d\rho$$ $$=-\exp\left\{\dfrac{2\pi(n+1)}{2n+1}i\right\}\displaystyle\int_0^R\dfrac{\rho^n}{\rho^{2n+1}+1}\;d\rho$$ $$=-\exp\left\{\dfrac{2\pi(n+1)}{2n+1}i\right\}\displaystyle\int_0^R\dfrac{x^n}{x^{2n+1}+1}\;dx.$$ Tomando límites en $(1)$ cuando $R\to +\infty:$ $$\dfrac{2\pi i}{2n+1}\exp\left\{-\frac{\pi n }{2n+1}i\right\}$$ $$=\left(1-\exp\left\{\frac{2\pi(n+1)}{2n+1}i\right\}\right)\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{x^n}{x^{2n+1}+1}\;dx+\displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}\displaystyle\int_{AB}\dfrac{z^n}{z^{2n+1}+1}\;dz.\quad (2)$$ Veamos que el límite que aparece en $(2)$ es igual a $0,$ para ello acotemos el integrando. Tenemos para $R>1:$ $$\left |\dfrac{z^n}{z^{2n+1}+1}\right |=\dfrac{|z|^n}{|z^{2n+1}-(-1)|}\leq \dfrac{|z|^n}{\left | |z|^{2n+1}-|-1|  \right |}=\dfrac{R^n}{R^{2n+1}-1}.$$ La longitud del arco $AB$ es $2\pi R/(2n+1),$ por tanto: $$0\leq \left | \displaystyle\int_{AB}\dfrac{z^n}{z^{2n+1}+1}\;dz \right |\leq \dfrac{R^n}{R^{2n+1}-1}\cdot \dfrac{2\pi R}{2n+1}.$$ Dado que $n\geq 1,$ $\displaystyle\lim_{R \to{+}\infty} \dfrac{R^n}{R^{2n+1}-1}\cdot \dfrac{2\pi R}{2n+1}=0$ lo cual implica $$\displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}\displaystyle\int_{AB}\dfrac{z^n}{z^{2n+1}+1}\;dz=0.$$ De $(2),$ deducimos que el valor de la integral pedida $I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{x^n}{x^{2n+1}+1}\;dx$ es: $$I=\dfrac{2\pi i}{2n+1}\cdot \dfrac{1}{\exp\left\{\frac{\pi n }{2n+1}i\right\}\left(1-\exp\left\{\frac{2\pi(n+1)}{2n+1}i\right\}\right)}$$ $$=\dfrac{2\pi i}{2n+1}\cdot \dfrac{1}{\exp\left\{\frac{\pi n }{2n+1}i\right\}-\exp\left\{-\frac{\pi n }{2n+1}i\right\}}.$$ Podemos por tanto concluir que: $$\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{x^n}{x^{2n+1}+1}\;dx=\dfrac{\pi}{2n+1}\csc \dfrac{\pi n}{2n+1}.$$

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