Ecuación diferencial por serie de potencias

Proporcionamos un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial por serie de potencias.

Enunciado
Se considera la ecuación diferencial $y^{\prime\prime}(x)+y(x)=x.$ Sea $y(x)$ solución de la ecuación que se puede expresar como suma de una serie entera convergente en $\mathbb{R}.$ Determinar explícitamente todas las funciones $y(x).$

(Propuesto en el foro rinconmatemático. Ver aquí).

Solución
Derivando $y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ obtenemos $$y’(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1},\quad y^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}$$ Obligando a que sea solución de la ecuación diferencial $$y^{\prime\prime}(x)+y(x)=x\Leftrightarrow \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=x$$ $$\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n-1)a_{n+2}x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=x$$ $$\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty}\left[(n+2)(n-1)a_{n+2}+a_n\right]x^{n}=x$$ Identificando coeficienres $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle
\begin{aligned} & 2a_2+a_0=0\\& 6a_3+a_1=1\\& 12a_4+a_2=0\\& 20a_5+a_3=0\\&\qquad\ldots \end{aligned}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle
\begin{aligned} & a_2=-\frac{a_0}{2}\\& a_3=\frac{1-a_1}{6}\\& a_4=\frac{a_0}{24}\\& a_5=\frac{-1+a_1}{120}\\&\qquad \ldots \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Nótese que en general, se verifica $$a_{n+2}=-\frac{a_n}{(n+1)(n+2)}, \text{ si } n\ge 2.$$ Los coeficientes $a_2,a_3,a_4,a_5$ de la serie de potencias se pueden escribir en la forma $$a_2=-\frac{a_0}{2!},\;a_3=\frac{1}{3!}-\frac{a_1}{3!},\;a_4=\frac{a_0}{4!},\;a_5=-\frac{1}{5!}+\frac{a_1}{5!},$$ lo cual sugiere las fórmulas $$a_{2k}=\frac{(-1)^ka_0}{(2k)!}.\qquad (1)$$ $$a_{2k+1}=\frac{(-1)^ka_1}{(2k+1)!}-\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}.\qquad (2)$$ Demostremos la fórmula $(1)$ por inducción. Es cierta para $k=1.$ Supongamos que es cierta para $k,$ entonces usando la relación $(*)$ $$a_{2(k+1)}=a_{2k+2}=-\frac{a_{2k}}{(2k+1)(2k+2)}$$ $$=-\frac{(-1)^ka_0}{(2k)!}\frac{1}{(2k+1)(2k+2)}=\frac{(-1)^{k+1}a_0}{(2(k+1))!},$$ es decir la fórmula es cierta para $k+1.$

De la misma forma, la fórmula $(2)$ es cierta para $k=1.$ Supongamos que es cierta para $k,$ entonces usando la relación $(*)$ $$a_{2(k+1)+1}=a_{(2k+1)+2}=-\frac{a_{2k+1}}{(2k+2)(2k+3)}$$ $$=-\left(\frac{(-1)^ka_1}{(2k+1)!}-\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\right)\frac{1}{(2k+2)(2k+3)}$$ $$=\frac{(-1)^{k+1}a_1}{(2k+3)!}-\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+3)!}=\frac{(-1)^{k+1}a_1}{(2(k+1)+1)!}-\frac{(-1)^{k+1}}{(2(k+1)+1)!},$$ es decir la fórmula es cierta para $k+1.$ Podemos por tanto escribir $$y(x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}+a_0\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}+a_1\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}$$ $$=(x-\text{sen } x)+a_0\cos x+a_1 \text{ sen } x=x+a_0\cos x+(a_1-1)\text{ sen } x. $$ En consecuencia, $$y(x)=x+C_1\cos x+C_2\text{ sen } x,\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}.$$

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