Principio del módulo máximo

Propoorcionamos ejemplos de aplicación del principio del módulo máximo.

Enunciado
1. Sea el disco unidad $\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:\left|z\right|<1\}$ y sea $f$ una función holomorfa en $\mathbb{D},$ continua en $\overline{\mathbb{D}}$ y no constante. Analizar cuales de cada una de las siguientes situaciones es posible

$a)\;\left|f\right|\le 3\text{ en }\overline{\mathbb{D}}\text{ y }f(0)=-3.$
$b)\;\left|f\right|\le 3\text{ en }\overline{\mathbb{D}}\text{ y }f(1)=3.$
$c)\;\left|f\right|\le 3\text{ en }\overline{\mathbb{D}}\text{ y }f(0)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}(1+i).$
$d)\;f(1/2)=4\text{ y si }x^2+y^2=1, \text{ entonces }f(x+iy)=3$

2. Sean $a_1,\ldots,a_n$ puntos de la circunferencia unidad $\left| z\right|=1.$ Demostrar que existe un $z$ de dicha circunferencia tal que el producto de distancias de $z$ a los $a_j$ es al menos $1.$

3. Determinar el máximo absoluto de $\left|f(z)\right|$ en $\left|z\right|\le 1$ para la función $f(z)=z^2-3z+2.$

Solución
Recordamos el principio del módulo máximo:
Sea $D\subset \mathbb{C}$ un dominio es decir, conexo y abierto.
$(a)$  Si  $f:D\to \mathbb{C}$ es holomorfa y no constante, entonces $\left|f(z)\right|$ no tiene máximo relativo en $D$ (como consecuencia, tampoco absoluto).
$(b)$ Si  $f$ es holomorfa en $D$ acotado, continua en $\overline{D}$ y no constante, entonces  $\left|f(z)\right|$ alcanza un máximo absoluto en la frontera de  $\overline{D}.$ $\quad\square$

1. $a)$  La función $\left|f\right|$ tendría un máximo relativo en $0\in \mathbb{D},$ lo cual contradice al principio del módulo máximo. No es posible.

$b)$  La función $f(z)=z+2$ holomorfa en $\mathbb{D},$ continua en $\overline{\mathbb{D}}$ y no constante. Además, $$\left|f(z)\right|\le \left|z+2\right|\le\left|z\right| +\left|2\right|\le 1+2=3 \text{ y }f(1)=3,$$ luego la situación es posible.

$c)$  Se verifica $\left|f(0)\right|=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}=3.$ La función $\left|f\right|$ tendría un máximo relativo en $0\in \mathbb{D},$ lo cual contradice al principio del módulo máximo. No es posible.

$d)$  Para todo $z\in \overline{\mathbb{D}}$ se verifica $\left|f(z)\right|=3.$ La función no alcanzaría máximo absoluto en $\overline{\mathbb{D}},$ lo cual  contradice al principio del módulo máximo. No es posible.

2. Sea $\mathbb{D}$ el disco unidad $\left| z\right|<1$ y definamos: $$f:\overline{\mathbb{D}}\to \mathbb{C},\quad f(z)=\prod_{j=1}^n(z-a_j).$$ La función  $f$ es claramente holomorfa en $\mathbb{D}$ y continua en $\overline{\mathbb{D}}.$ Además, $\left|f(0)\right|=1$ y $\left|f(a_j)\right|=0$ para todo $j=1,\ldots,n$ luego $f$ no es constante. Por el principio del módulo máximo $\left|f(z)\right|$ alcanza un máximo absoluto en un punto $z_0$ de la frontera de $\overline{\mathbb{D}}$ es decir, cumpliendo $\left| z_0\right|=1.$ Es decir $$\left|f(z_0)\right|=\prod_{j=1}^n\left|z_0-a_j\right|\ge \left|f(0)\right|=1. $$ 3. Claramente la función es no constante, holomorfa en  $\left|z\right|<1$ y continua en $\left|z\right|=1.$ Por el principio del módulo máximo, el máximo absoluto de $\left|f(z)\right|$ se alcanza en $\left|z\right| = 1.$  Llamando $z = x+yi$ con $x,y$ reales podemos expresar $$f(z)=f(x+iy) = (x^2-y^2-3x+2) +  i(2xy-3y).$$ Máximicemos $$\left|f(x+iy)\right|^2 = (x^2-y^2-3x+2)^2 + (2xy-3y)^2$$ con la condición $x^2+y^2 = 1$. Usando $y^2=1-x^2$: $$\left|f(x+iy)\right|^2 = (2x^2-3x+1)^2 + (1-x^2)(2x-3)^2$$ $$= 8x^2-18x+10,\quad x\in[-1,1].$$ Usando el teorema de Weierstrass fácilmente verificamos que el máximo absoluto de $\varphi (x)=8x^2-18x+10$ en $[-1,1]$ es $\varphi_{\max}(-1)=36.$ En consecuencia, $$\left|f\right|_{\max}(-1)=\sqrt{36}=6.$$

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