Los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no son isomorfos

Demostramos que los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo no pueden ser isomorfos.

Enunciado
Demostrar que los grupos aditivo y multiplicativo de un cuerpo nunca son isomorfos.

Solución
Sea $K$ un cuerpo y sean $K^+$ y $K^{\times}$ los grupos aditivo y multiplicativo de $K$ respectivamente. Si $K^+$ es finito, entonces $\left|F^{\times}\right|=\left|F^+\right|-1,$ por tanto no existe biyección $\Phi : K^+ \rightarrow K^\times$ lo cual implica que $K^+$ y $K^{\times}$ no son isomorfos.

Supongamos ahora que $K$ es infinito y que $\Phi : K^+ \rightarrow K^\times$ es isomorfismo de grupos, con lo cual será $\Phi(0) = 1.$

Si $1 = -1,$ sea $\Phi (1)=a.$ Entonces, $\Phi(-1)=a^{-1}$ y también $\Phi (1)=\Phi (-1)=a.$  Por tanto $$a^2=\Phi (1)\Phi (-1)=\Phi (1-1)=\Phi (0)=1\Rightarrow a^2=1\Rightarrow a=1\vee a=-1$$ $$\Rightarrow a=1\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \Phi (0)=1\\& \quad\text{y}\\& \Phi (1)=a=1 \end{aligned}\end{matrix}\right.\Rightarrow \Phi\text{ no es inyectiva,}$$ lo cual es absurdo.

Si $1\ne -1,$ sea $b\in K$ tal que $\Phi(b)=-1.$ Entonces $$\Phi (2b)=\Phi (b+b)=\Phi (b)^2=1.$$ Como $\Phi$ es inyectiva, $2b=0,$ es decir $b=0$ (pues $1+1\ne 0$). Por tanto $1=\Phi (0)=-1,$ lo cual es absurdo.

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