Ecuación funcional compleja

Resolvemos una ecuación diferencial compleja.

Enunciado
Determinar todas las funciones enteras  $f$ que satisfacen la ecuación funcional compleja $$f(2z)=\frac{f(z)+f(-z)}{2},\qquad \forall z\in \mathbb{C}$$ Solución
Si  $f$ es una función entera, se puede expresar en todo el plano conlejo como suma de una serie de potencias convergente, i.e. $f(z)=\sum_{n\ge 0}a_n z^n.$ Si  $f$ satisface la ecuación funcional dada, se ha de verificar $$\sum_{n\ge 0}2^na_n=\frac{\sum_{n\ge 0}a_n z^n+\sum_{n\ge 0}(-1)^na_n z^n}{2}=\sum_{n\ge 0}\frac{1+(-1)^n}{2}a_nz^n,$$ lo cual implica $$2^na_n=\frac{1+(-1)^n}{2}a_n,\quad \forall n\ge 0.$$ Si $a_n\ne 0$ entonces, $2^n=(1+(-1)^n)/2,$ o de forma equivalente $2^{n+1}=1+(-1)^n.$ Claramente, esta relación no se cumple para $n\ge 1,$ luego ha de ser $a_n=0$ si $n\ge 1.$ En consecuencia, las únicas posibles funciones enteras que satisfacen la ecuación funcional son las constantes, y es inmediato verificar que éstas la satisfacen.

Concluimos que las funciones enteras que satisfacen la ecuación funcional dada son exactamente las funciones constantes.

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